Exercícios de espaços vetoriais
1. O conjunto dos números reais é um espaço vetorial? É praticamente imediato verificar que sim a partir da simples observação dos axiomas que definem um espaço vetorial. Os números reais podem ser considerados vetores de uma coordenada só.
O conjunto das matrizes com coeficientes reais [math]\displaystyle{ m \text{ } \times \text{ } n }[/math] é um espaço vetorial? A verificação é praticamente igual à dos vetores, apenas muda-se a notação de vetor para a notação de matriz.
O conjunto dos números complexos é um espaço vetorial? Todo número complexo tem a forma [math]\displaystyle{ a + bi }[/math] e pode ser visualizado no plano complexo como um par ordenado [math]\displaystyle{ (a, bi) }[/math]. Desta forma a verificação é análoga à dos vetores em [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math].
2. Seja [math]\displaystyle{ S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\} }[/math] um plano do [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] passando pela origem. Mostre que S é um espaço vetorial sobre [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] com as operações usuais definidas em [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math].
A verificação dos 8 axiomas é idêntica às demonstrações vistas em Propriedades algébricas dos vetores. Apenas muda-se de [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] para [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math].
Uma pergunta natural: se o plano não passar pela origem, ele é um espaço vetorial? Suponha [math]\displaystyle{ S = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 1\} }[/math], um plano paralelo ao anterior, mas deslocado de uma unidade. É fácil verificar que [math]\displaystyle{ (0,0,0) \notin S }[/math], sendo assim o espaço dado não obedece a um axioma e não é um espaço vetorial.
3. No conjunto [math]\displaystyle{ V = \{(x,y) \text{ } | \text{ } x,y \in \mathbb{R}\} }[/math] a "adição" é definida assim [math]\displaystyle{ (x_1,x_2) + (y_1,y_2) = (x_1 + x_2,0) }[/math] e a multiplicação por escalares no [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math] é a usual, ou seja, [math]\displaystyle{ \alpha(x,y) = (\alpha x,\alpha y) }[/math] para todo [math]\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R} }[/math]. Nessas condições, V é um espaço vetorial sobre [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] ?
É fácil verificar que [math]\displaystyle{ (x,y) + (0,0) \neq (x,y) }[/math] [math]\displaystyle{ \forall y \neq 0 }[/math]. Atenção! Não faça a soma usual, faça a soma como esta definida para este conjunto!
Observe que a soma definida é associativa, é comutativa e o elemento oposto também é válido.
Façamos uma alteração no conjunto, a soma passa a ser a usual mas a multiplicação por escalar passa a ser definida como [math]\displaystyle{ \alpha(x,y) = (\alpha x, 0) }[/math]. Nessas condições, V é um espaço vetorial? É fácil verificar que [math]\displaystyle{ 1(x,y) \neq (x,y) }[/math] com a nova definição. As demais propriedades, associativa, distributiva por escalar e por vetor continuarão válidas.
4. Suponha definidas em [math]\displaystyle{ V = \{(a,b) \in \mathbb{R}^2 : a,b \gt 0\} }[/math] as operações
[math]\displaystyle{ \begin{align*} (a,b) \oplus (c,d) = & (ac,bd) \text{ } \forall(a,b),(c,d) \in V \\ \alpha(a,b) = & (a^{\alpha},b^{\alpha} \text{ } \forall \alpha \mathbb{R}, \text{ } \forall(a,b) \in V \end{align*} }[/math]
Prove que V, munido dessas operações é um espaço vetorial.
Escolha dois elementos arbitrários do conjunto [math]\displaystyle{ u = (x,y) }[/math] e [math]\displaystyle{ v = (a,b) }[/math]. Calcule [math]\displaystyle{ u \oplus v }[/math] e veja que a operação é comutativa pois a multiplicação de números reais é comutativa. Utilize o mesmo procedimento, agora com três elementos, para verificar que a operação dada também é associativa.
[math]\displaystyle{ (x,y) \oplus (f,g) = (x,y) }[/math]. Neste conjunto, o elemento neutro da soma não é [math]\displaystyle{ (f,g) = (0,0) }[/math]. Como a soma esta definida como uma multiplicação de coordenadas correspondentes, quem é o elemento neutro da multiplicação de números reais? Calcule e verifique.
[math]\displaystyle{ (x,y) \oplus (o,p) = (f,g) }[/math]. Neste conjunto, o elemento oposto não é [math]\displaystyle{ -(x,y) }[/math]. Perceba que como o elemento neutro na parte anterior não é o [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math], é obrigatório primeiro verificar o elemento neutro para depois verificar o elemento oposto. Se a operação multiplica coordenadas correspondentes, quem é [math]\displaystyle{ (o,p) }[/math] tal que [math]\displaystyle{ (xo,yp) = (f,g) }[/math] ? Note que a definição do conjunto é muito precisa, caso [math]\displaystyle{ a,b = 0 }[/math] ocorreria uma operação indefinida nos números reais.
[math]\displaystyle{ (\alpha + \beta)u = \alpha u \oplus \beta u }[/math]. A verificação desta propriedade envolve ambas as operações não usuais definidas para o conjunto. A multiplicação por escalar envolverá as propriedades de potenciação dos números reais: base comum e soma de expoentes. Apenas atente-se ao fato de tanto a soma como a multiplicação por escalar não são as usuais, não misture em nenhuma etapa com as definições usuais. Cuidado! A soma de escalares é a usual, não definida como esta para vetores.
A propriedade associativa da multiplicação não deve trazer maiores problemas na verificação. A operação [math]\displaystyle{ \alpha( u \oplus v) }[/math] também não deve trazer problemas, apenas, repetindo, atendo-se ao fato de que a soma e a multiplicação não são as usuais.
5. Seja [math]\displaystyle{ \large{\mathscr{F}} }[/math] o conjunto de todas as funções de valores reais, ele é um espaço vetorial?
A soma de funções é feita calculando-se o valor da função num ponto e somando esse valor: [math]\displaystyle{ (f + g)(x) = f(x) + g(x) }[/math]. É fácil verificar que a soma é associativa e comutativa. A multiplicação de uma função por um escalar é feita multiplicando-se o valor da função naquele ponto: [math]\displaystyle{ (cf)(x) = cf(x) }[/math]. É fácil verificar que a multiplicação é associativa e distributiva. O elemento oposto é a função tal, que a cada ponto associa o valor oposto ao da função anterior: [math]\displaystyle{ (-f)(x)= -f(x) }[/math]. Cuidado para não confundir com a função inversa! O elemento neutro da adição é a função tal, que a cada ponto associa o valor zero: [math]\displaystyle{ f(x) = 0 }[/math] ou [math]\displaystyle{ f \equiv 0 }[/math] (leia-se: função identicamente nula). Cuidado para não confundir com [math]\displaystyle{ f(0) }[/math] !
Portanto, o conjunto de todas as funções da reta na reta é um espaço vetorial. Não importa quais sejam as funções e suas características, subconjuntos das funções de valores reais tambem podem ser espaços vetoriais. Uma maneira geométrica de interpretar este resultado é pensar que todos os pontos de todas as funções possuem coordenadas únicas no espaço. Portanto, adotando-se a origem do sistema de coordenadas como ponto origem e um ponto qualquer da função como extremidade, temos um vetor e as operações usuais com vetores.
