Propriedades algébricas dos vetores

Os oito axiomas aqui demonstrados permitem validar as operações algébricas com vetores. Cada um esta demonstrado com números reais, uma vez que os vetores estudados em geometria analítica e álgebra linear introdutória estão definidos para coordenadas reais. A validade de todas mostra que os vetores estudados em geometria analítica fazem parte de um espaço vetorial, embora a definição de um espaço vetorial seja normalmente postergada para o curso de álgebra linear.

M1. [math]\displaystyle{ a(b\overrightarrow{v}) = (ab)\overrightarrow{v} }[/math]	(associativa multiplicativa)
M2. [math]\displaystyle{ a(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}) = a\overrightarrow{v} + a\overrightarrow{u} }[/math]	(distributiva por número real)
M3. [math]\displaystyle{ (a + b)\overrightarrow{v} = a\overrightarrow{v} + b\overrightarrow{v} }[/math]	(distributiva por vetor)
M4. [math]\displaystyle{ 1\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} }[/math]	(elemento neutro da multiplicação)
A1. [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} }[/math]	(comutativa)
A2. [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{v} + (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{w}) }[/math]	(associativa)
A3. [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{v} }[/math]	(elemento neutro da adição)
A4. [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} + (-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{0} }[/math]	(elemento oposto)

As demonstrações a seguir já estão generalizadas para n dimensões. Com duas ou três dimensões é possível utilizar uma letra diferente para cada coordenada, mas com muitas coordenadas utiliza-se uma letra seguida de um índice inteiro.

A soma de vetores é definida somando-se os valores numéricos das coordenadas correspondentes. Se um vetor possui menos coordenadas do que o outro, as coordenadas faltantes são nulas. A multiplicação por escalar é definida multiplicando-se todas as coordenadas pelo escalar.

A ordem das demonstrações, com exceção de A3 e A4, é arbitrária.

Cuidado com a lógica circular 0 = 0! Numa demonstração, a tese é a de que a expressão da esquerda é igual a da direita, então deve-se trabalhar na expressão da esquerda ou da direita (ou ambas separadamente) e desenvolvê-la antes de se chegar no resultado final. Se o próprio resultado é escrito na igualdade já no início, cai-se numa lógica circular onde a hipótese é assumida como verdadeira e não há o que provar.

Prova de A4:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{v} + (-\overrightarrow{v}) = & \text{ } (x_1, x_2, \dots, x_n) + [-(x_1, x_2, \dots, x_n)] \\ = & \text{ } (x_1, x_2, \dots, x_n) + (-x_1, -x_2, \dots, -x_n) \\ = & \text{ } (x_1 - x_1, x_2 - x_2, \dots, x_n - x_n) \\ = & \text{ } (0, 0, \dots, 0) \\ = & \text{ } \overrightarrow{0} \end{align*} }[/math]

A soma de um número real com o seu oposto é igual ao elemento neutro da adição.

Atenção! O elemento oposto pode não ser necessariamente o vetor com sinal trocado. Em álgebra linear mostra-se que é possível definir conjuntos e operações de tal forma que o elemento oposto existe e não é o vetor multiplicado por -1.

Demonstração extra: mostre que, para cada vetor, existe apenas um elemento oposto correspondente.

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{v} + \overrightarrow{a} = & \text{ } \overrightarrow{0} \\ (v_1, v_2, \dots, v_n) + (a_1, a_2, \dots, a_n) = & \text{ } (0, 0, \dots, 0) \\ (v_1, v_2, \dots, v_n) = & \text{ } -(a_1, a_2, \dots, a_n) \\ \overrightarrow{v} = & \text{ } -\overrightarrow{a} \\ \\ \overrightarrow{v} + \overrightarrow{b} = & \text{ } \overrightarrow{0} \\ (v_1, v_2, \dots, v_n) + (b_1, b_2, \dots, b_n) = & \text{ } (0, 0, \dots, 0) \\ (v_1, v_2, \dots, v_n) = & \text{ } -(b_1, b_2, \dots, b_n) \\ \overrightarrow{v} = & \text{ } -\overrightarrow{b} \\ \\ \therefore -(a_1, a_2, \dots, a_n) = \text{ } -(b_1, b_2, \dots, b_n) = & \text{ } (v_1, v_2, \dots, v_n) \\ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} = & \text{ } -\overrightarrow{v} \end{align*} }[/math]

Suponha que existam dois vetores, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{b} }[/math], tais que ambos sejam opostos ao vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math]. Com as contas mostramos que ambos os vetores são iguais, o que prova que, para cada vetor, há apenas um oposto. Caso isto não fosse verdade, a lei de cancelamento não seria válida.

Prova de A3:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{v} + \overrightarrow{0} = & \text{ } (x_1, x_2, \dots, x_n) + (0, 0, \dots, 0) \\ = & \text{ } (x_1 + 0, x_2 + 0, \dots, x_n + 0) \\ = & \text{ } (x_1, x_2, \dots, x_n) \\ = & \text{ } \overrightarrow{v} \end{align*} }[/math]

Somar um número real com zero é o mesmo que não somar nada. Em outras palavras, zero é o elemento tal que, somado, resulta no próprio vetor. Atenção! A4 precisa ser demonstrada antes de A3, pois primeiro mostra-se que existe um elemento neutro na adição para depois mostrar que um vetor mais o seu oposto é igual ao elemento neutro.

Atenção 2! Usualmente o elemento neutro é o zero, mas em álgebra linear são vistos espaços vetoriais com definições de operações onde o elemento neutro existe e não é o zero.

Demonstração extra: mostre que o elemento neutro da adição é único.

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{v} + \overrightarrow{a} = & \text{ } \overrightarrow{v} \\ (v_1, v_2, \dots, v_n) + (a_1, a_2, \dots, a_n) = & \text{ } (v_1, v_2, \dots, v_n) \\ (v_1 - v_1, v_2 - v_2, \dots, v_n - v_n) = & (a_1, a_2, \dots, a_n) \\ (0, 0, \dots, 0) = & \text{ } (a_1, a_2, \dots, a_n) \\ \\ \overrightarrow{v} + \overrightarrow{b} = & \text{ } \overrightarrow{v} \\ (v_1, v_2, \dots, v_n) + (b_1, b_2, \dots, b_n) = & \text{ } (v_1, v_2, \dots, v_n) \\ (v_1 - v_1, v_2 - v_2, \dots, v_n - v_n) = & \text{ } (b_1, b_2, \dots, b_n) \\ (0, 0, \dots, 0) = & \text{ } (b_1, b_2, \dots, b_n) \\ \\ \therefore (a_1, a_2, \dots, a_n) = (b_1, b_2, \dots, b_n) = & \text{ } (0, 0, \dots, 0) \\ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} = & \text{ } \overrightarrow{0} \end{align*} }[/math]

Suponha que existam dois vetores, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{b} }[/math], tais que eles tenham a mesma propriedade de não interferir na soma de um vetor. Com as contas, mostramos que ambos os vetores são iguais, o que prova que o elemento neutro da adição é único. Caso isto não fosse verdade, a lei de cancelamento não seria válida.

Prova de A1:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} = & \text{ } (x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) \\ = & \text{ } (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n) \\ = & \text{ } (y_1 + x_1, y_2 + x_2, \dots, y_n + x_n) \\ = & \text{ } \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \end{align*} }[/math]

A soma de números reais é comutativa. Geometricamente, pela regra do paralelogramo para somar vetores, o vetor soma é a diagonal e tanto pode-se obtê-lo percorrendo-se as laterais do paralelogramo por um lado como pelo outro. Em outras palavras, a ordem dos vetores não importa para a soma.

Prova de A2:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}) + \overrightarrow{w} = & \text{ } [(x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n)] + (z_1, z_2, z_n) \\ = & \text{ } (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n) + (z_1, z_2, \dots, z_n) \\ = & \text{ } [(x_1 + y_1) + z_1, (x_2 + y_2) + z_2, \dots, (x_n + y_n) + z_n] \\ = & \text{ } [x_1 + (y_1 + z_1), x_2 + (y_2 + z_2), \dots, x_n + (y_n + z_n)] \\ = & \text{ } \overrightarrow{v} + (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{w}) \end{align*} }[/math]

A propriedade associativa nos desobriga o uso de parêntesis para indicar qual soma é feita primeiro, tanto faz a ordem.

Prova de M4:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} 1\overrightarrow{v} = & \text{ } 1(x_1, x_2, \dots, x_n) \\ = & \text{ } (1x_1, 1x_2, \dots, 1x_n) \\ = & \text{ } \overrightarrow{v} \end{align*} }[/math]

Multiplicar por um é o mesmo que não multiplicar. Em outras palavras, o elemento um é tal que, multiplicado por ele, resulta o próprio vetor.

Prova de M3:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} (a + b)\overrightarrow{v} = & \text{ } (a + b)(x_1, x_2, \dots, x_n) \\ = & \text{ } [(a + b)x_1, (a + b)x_2, \dots, (a + b)x_n)] \\ = & \text{ } (ax_1 + bx_2, ax_2 + bx_2, \dots, ax_n + bx_n) \\ = & \text{ } a(x_1, x_2, \dots, x_n) + b(x_1, x_2, \dots, x_n) \\ = & \text{ } a\overrightarrow{v} + b\overrightarrow{v} \end{align*} }[/math]

É o mesmo procedimento de por em evidência o fator comum na multiplicação de números reais.

Prova de M2:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} a(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}) = & \text{ } a[(x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n)] \\ = & \text{ } a(x_1, x_2, \dots, x_n) + a(y_1, y_2, \dots, y_n) \\ = & \text{ } a\overrightarrow{v} + a\overrightarrow{u} \end{align*} }[/math]

É a mesma distributiva dos números reais. Geometricamente, esticar ou encolher o vetor resultante por um fator x é o mesmo que esticar ou encolher as componentes do vetor resultante por esse mesmo x. A visualização em duas dimensões mostra que esta propriedade cai na semelhança de triângulos.

Prova de M1:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} a(b\overrightarrow{v}) = & \text{ } a[b(x_1, x_2, \dots, x_n)] \\ = & \text{ } a(bx_1, bx_2, \dots, bx_n) \\ = & \text{ } (ab)(x_1, x_2, \dots, x_n) \\ = & \text{ } ab\overrightarrow{v} \\ (ab)\overrightarrow{v} = & \text{ } (ab)(x_1, x_2, \dots, x_n) \\ = & \text{ } [(ab)x_1, (ab)x_2, \dots, (ab)x_n] \\ = & \text{ } ab\overrightarrow{v} \end{align*} }[/math]

A propriedade multiplicativa por número real também é associativa.