Definição e exemplos

Os espaços vetoriais são o tema central da álgebra linear. Um espaço vetorial é um certo conjunto onde existem elementos e entre eles podemos realizar certas operações. Em geometria analítica, o conjunto de vetores com as propriedades algébricas (Propriedades algébricas dos vetores) válidas é um exemplo de um espaço vetorial. Numa analogia, pense num espaço vetorial como um jogo onde existem jogadores e regras. Caso um dos axiomas não seja válido e/ou o conjunto não tenha elementos, então temos um exemplo do que não é um espaço vetorial.

Observação: os espaços vetoriais também podem ser definidos com números complexos, mas num curso introdutório fica-se apenas com os números reais mesmo.

Uma questão de terminologia: a palavra espaço no cotidiano remete à qualquer espaço. Em geral se trata de um espaço tridimensional e quase sempre é sinônimo de área ou volume. Assim temos espaço para festas, para carros, para pedestres, num armário, etc. Mas em matemática a definição de espaço é abstrata, é mais próxima da definição de um conjunto ou grupo. Temos muitos elementos que obedecem à critérios que satisfazem à definição de um espaço vetorial. O conjunto de todos esses elementos é o espaço vetorial.

Definição: Dado um conjunto V não vazio, ele é um espaço vetorial sobre os reais quando, e somente quando:

[math]\displaystyle{ \forall u,v,w \in E }[/math],	[math]\displaystyle{ (u + v) + w = u + (v + w) }[/math];
[math]\displaystyle{ \forall u,v \in E }[/math],	[math]\displaystyle{ u + v = v + u }[/math];
[math]\displaystyle{ \exists \text{ } 0 \in E }[/math] tal que, [math]\displaystyle{ \forall u \in E }[/math],	[math]\displaystyle{ u + 0 = u }[/math];
[math]\displaystyle{ \forall u \in E, \exists \text{ } (-u) \in E }[/math] tal que,	[math]\displaystyle{ u + (-u) = 0 }[/math];
[math]\displaystyle{ \forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall u,v \in E }[/math],	[math]\displaystyle{ \alpha(u + v) = \alpha u + \alpha v }[/math];
[math]\displaystyle{ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \forall u \in E }[/math],	[math]\displaystyle{ (\alpha + \beta)u = \alpha u + \beta u }[/math];
[math]\displaystyle{ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \forall u \in E }[/math],	[math]\displaystyle{ \alpha(\beta u) = (\alpha \beta)u }[/math];
[math]\displaystyle{ \forall u \in E }[/math],	[math]\displaystyle{ 1u = u }[/math].

Para verificar se um dado conjunto é ou não um espaço vetorial o procedimento é verificar todas as propriedades uma por uma. Mas, caso não seja um espaço vetorial, a simples verificação do axioma que não vale já é suficiente para a resposta de um exercício. O que muda de um exercício para outro é a definição do conjunto e das operações.