Visualizando o domínio de uma função
O domínio de funções de uma variável é muito fácil de desenhar. É uma reta dos números. A função leva elementos de uma reta dos números, processa-os e produz uma outra reta. Na maior parte do tempo em cálculo estamos preocupados com os números reais. Os complexos são deixados para depois.
Para duas variáveis estamos considerando que o domínio é um subconjunto de todo o plano cartesiano e todos os pares (x,y) nele contidos. Para três variáveis é o espaço 3D e aí não é mais viável desenhar na mão. Para quatro ou mais variáveis estamos no hiperespaço, impossível de visualizar.
O domínio de uma função de duas variáveis pode se assemelhar ao gráfico de uma função de uma variável. Porém, gráficos de funções de uma variável são linhas com espessura nula. Eles não podem ser uma área. Por analogia, o domínio de uma função de três variáveis é contido no espaço 3D. Funções de duas variáveis podem desenhar lençóis, superfícies, planos, mas nunca todos os pontos do interior de uma esfera, cone ou cubo por exemplo.
Uma maneira simples de imaginar o domínio de uma função de uma ou duas variáveis é imaginar uma sombra. Mas vamos impor uma condição especial, a fonte de luz imaginária é perpendicular ao plano XY e todos os raios de luz são paralelos. Qual é a sombra de um cabo muito fino? Uma linha muito fina. Qual a sombra de um domo ou meia esfera? Um círculo. Cuidado, estamos considerando a sombra projetada numa superfície plana, não todo o espaço entre o objeto e a sombra na superfície. Note que se esticarmos ou apertarmos o gráfico na vertical, a sombra mantém o mesmo formato. A sombra também ignora qualquer irregularidade ou oscilação entre as bordas. A mesma ideia pode ser estendida para dimensões maiores. Um objeto 4D projeta uma sombra 3D por exemplo.
No ramo da computação gráfica a ideia de sombras projetadas é o conceito chave que esta por trás da renderização de luzes e sombras. Avaliamos quais pontos são atingidos por um raio de luz e quais não são. No modelo mais simples a superfície ou permite ou não permite a passagem da luz.
