Valores extremos de uma função

Se a função não for constante uma pergunta natural é querer saber se a função tem um valor máximo ou mínimo. Em cálculo não estamos preocupados com barreiras físicas como a temperaura baixar além do zero kelvin ou a velocidade ir além da velocidade da luz. A função pode ter pontos de máximo ou mínimo, local ou global. É importante dizer, quando o limite num ponto resulta em infinito, aquele ponto não pode ser máximo nem mínimo porque o infinito não é um número alcançável.

Caso 1: [math]\displaystyle{ (a, \ f(a)) }[/math] é um máximo absoluto de [math]\displaystyle{ f }[/math] porque [math]\displaystyle{ f(a) \geq f(x) }[/math] para todo [math]\displaystyle{ x \in D_f }[/math].
Caso 2: [math]\displaystyle{ (b, \ f(b)) }[/math] é um mínimo absoluto de [math]\displaystyle{ f }[/math] porque [math]\displaystyle{ f(b) \leq f(x) }[/math] para todo [math]\displaystyle{ x \in D_f }[/math].

Os valores máximos e mínimos de [math]\displaystyle{ f }[/math] são chamados de valores extremos de [math]\displaystyle{ f }[/math]. Caso a função seja estritamente crescente ou estritamente decrescente, valores extremos não existem.

Máximo absoluto e máximo global significam a mesma coisa, mas pode ser que a palavra "absoluto" cause alguma confusão com o termo valor absoluto.

Observação: algumas vezes o zero (raiz) de uma função coincide com um máximo ou mínimo, mas não é uma regra.

Se restringirmos nossa análise a um subintervalo do domínio da função temos pontos de máximos e mínimos locais. Eles podem coincidir com os máximos e mínimos globais, mas não é uma regra. De [math]\displaystyle{ a }[/math] até [math]\displaystyle{ b }[/math]:

[math]\displaystyle{ (c_1, \ f(c_1)) }[/math] é um máximo local de [math]\displaystyle{ f }[/math] porque [math]\displaystyle{ f(c_1) \geq f(x) }[/math] para todo [math]\displaystyle{ x \in ]a, \ b[ }[/math].
[math]\displaystyle{ (c_2, \ f(c_2)) }[/math] é um mínimo local de [math]\displaystyle{ f }[/math] porque [math]\displaystyle{ f(c_2) \leq f(x) }[/math] para todo [math]\displaystyle{ x \in ]c_1, \ b[ }[/math].
(Tom M. Apostol usa o termo "relativo" no lugar de local)

A razão para um intervalo aberto é porque o limite nas extremidades pode não existir, o que significa que a função é descontínua ali. Se um limite é infinito ele não pode ser um máximo nem um mínimo porque o infinito não é um número. Caso o limite exista mas a função seja indefinida naquele ponto, podemos continuar achando um valor maior ou menor do que o anterior. Não tem fim. O máximo ou mínimo local precisa estar entre dois extremos, exceto pelos valores dos extremos em si. O subintervalo é alguma vizinhança ao redor do ponto.

Se você percebeu, os exemplos estão intimamente ligados ao Teorema de Rolle, porque os pontos de máximo e mínimo coincidem com o ponto onde [math]\displaystyle{ f'(x) = 0 }[/math]. Não é uma regra apesar disto.

Alguém pode ter perguntado sobre intervalos fechados. Aqui eu vejo definições conflitantes causadas pela terminologia e linguagem informal de alguns livros e notas de aula por aí. Se temos uma função e o intervalo [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], esta função precisa ser contínua no intervalo. Senão temos o problema que eu acabei de discutir acima. Neste caso específico de uma função contínua num intervalo fechado, alguns livros chamam [math]\displaystyle{ a }[/math] e [math]\displaystyle{ b }[/math] de máximos ou mínimos globais.

Global ou local? Suponha que uma certa função contínua é estritamente crescente de 0 à 10 e o intervalo é fechado. 0 é obviamente o mínimo e 10 o máximo. Se ignorarmos qualquer formalismo poderíamos dizer que os pontos são globais porque não há outro valor maior ou menos naquele subintervalo. Mas também poderíamos dizer que os pontos são locais porque o subintervalo não é todo o domínio. Vê a confusão? Agora mude o intervalo, de 10 até 20. Se a função é estritamente crescente, então 10 passa a ser um mínimo. Mude o intervalo para entre 0 e 20. Agora o 10 não é mínimo nem máximo. Caso você encontre um exercício com uma confusão como aqui descrita, verifique se o exercício definiu claramente o intervalo porque se houver ambiguidade ou a função for descontínua, considere o exercício errado.

Em cálculo não conseguimos provar o Teorema dos Valores Extremos de Weierstrass porque precisamos de conhecimentos mais avançados do que cálculo. Mas podemos usá-lo para estudar o comportamento de funções. Se uma função for contínua e constante num intervalo, o máximo e o mínimo serão iguais. Senão, se a função não for constante, é bastante natural assumir que existe um ponto mais alto e um mais baixo naquele intervalo.

Pense sobre o significado da derivada. É uma função que representa a taxa de variação de outra função. Se a taxa de variação é sempre positiva ou sempre negativa, então a função não muda a sua taxa de variação e não pode ter um máximo global ou um mínimo global. Senão, se a taxa de variação inverte de sinal em algum ponto, então ela deve ser igual a zero em algum lugar no intervalo que estamos analisando. O que eu acabei de explicar foi a ideia de achar as raízes da própria derivada.

Quando temos uma função dada por uma equação que sabemos resolver, como uma equação polinomial. Achar as raízes nem sempre coincide com achar pontos de máximo ou mínimo. Mesmo assim as raízes nos dão informações sobre a função assumir valores positivos ou negativos antes e depois do ponto onde ela cruza o eixo [math]\displaystyle{ x }[/math]. Por meio desta informação podemos saber se a função esta crescendo ou decrescendo ao redor da raiz.

As primeiras duas ferramentas que temos para estudar o comportamento de funções são calcular as raízes da equação e as derivadas, especialmente as raízes da própria derivada.

A ideia de achar as raízes de uma derivada pode ser estendida para funções de várias variáveis. O problema é que no caso de várias variáveis a análise fica mais complicada porque, mesmo que as derivadas parciais sejam nulas num ponto, a função pode ser crescente numa variável e decrescente na outra. Além disto, raízes de funções de várias variáveis não são um único ponto, mas intersecções completas entre superfícies e o plano XY (em dimensões além do 3D não temos nem mesmo a visualização gráfica).