Propriedades dos logaritmos

Definimos [math]\displaystyle{ b^n = a }[/math] como um número [math]\displaystyle{ b }[/math] elevado a [math]\displaystyle{ n }[/math] que é igual a [math]\displaystyle{ a }[/math]. Com zero elevado a zero indefinido. O logaritmo é definido como [math]\displaystyle{ \log_{b}a = n }[/math]. Isto é, um número [math]\displaystyle{ a }[/math], na base [math]\displaystyle{ b }[/math], tal que [math]\displaystyle{ b^n = a }[/math]. Com a exponenciação queremos encontrar o resultado das multiplicações. Com o logaritmo queremos encontrar o número de multiplicações em si, indicado no expoente, sabendo o resultado das multiplicações.

Eu vou utilizar da notação de flecha e do conceito de função para explicar uma pequena confusão que ocorre entre o log e exp. Suponha que eu escrevo isto [math]\displaystyle{ b^n \to a }[/math] para indicar uma função que associa dois números a um terceiro. Agora eu escrevo isto [math]\displaystyle{ a \to b^n }[/math] para indicar a associação inversa. Primeiro,o termo [math]\displaystyle{ b }[/math] de [math]\displaystyle{ a \to b^n }[/math] é fixo, estático, a variável é a potência (exponente). Segundo, o log é o inverso da exponencial, mas a flecha deixa claro uma pequena confusão. O que o log calcula é a potência desconhecida, não o [math]\displaystyle{ b }[/math] ou [math]\displaystyle{ a }[/math], porque estes dois nós já sabemos. Esta é uma confusão muito comum, achar que o log calcula o [math]\displaystyle{ b }[/math], que já sabemos. A incógnita pode ser em qualquer lugar no log, tanto na base quanto no exponente ou mesmo o resultado do log. Mas a definição do log como sendo o inverso da exponencial só permite a interpretação de que o valor que o log encontra é o exponente desconhecido.

Se você lembrar que o log calcula o expoente da exponencial, as propriedades do logaritmo ficam mais fáceis de entender.

As propriedades

A base não importa, as propriedades do log independem da base. A maior fonte das confusões acontece quando as pessoas olham para o log e, inconscientemente, acham que a relação entre dois logs diferentes é linear. Por exemplo: pensar que quando multiplicamos por um log de 2 estamos dobrando uma quantidade. Reciprocamente, pensar que o calcular o log de algo é o mesmo que dividir por uma constante.

• [math]\displaystyle{ a^{\log_a{b}} = b }[/math]. Quando o exponente é um log e a base do log é a base da exponencial em si, o resultado é um valor do próprio log. Eu vou dizer que esta propriedade é melhor explicada se você mencionar a função inversa. Por definição o log e exp (eu usei a base natural e, mas tanto faz a base) não são um o inverso do outro? Então:
  
  [math]\displaystyle{ e(x) = e^x }[/math]
  [math]\displaystyle{ ln(x) = \log_e{x} }[/math]
  
  [math]\displaystyle{ e(ln(x)) = e^{\ln{x}} }[/math] (fica bem melhor de ver a propriedade usando a notação de funções do que memorizando uma regra sem sentido. Uma função esta "desfazendo" a operação da outra, o que resulta no mesmo número inicial.)
  
  Vamos reescrever a primeira expressão com log e ver o que acontece:
  
  [math]\displaystyle{ \log_a{b} = \log_a{b} \iff a^{\log_a{b}} = b }[/math] (pode-se argumentar que esta propriedade não é nada mais do que escrever um log misturado com uma exponencial)

• [math]\displaystyle{ \log_p(a^b) = b\log_p(a) }[/math]. Cuidado! O expoente esta no próprio log, não estamos calculado o log elevado a um exponente! A respeito da prova, temos uma afirmação que diz que o lado esquerdo é igual ao direito. O que vamos fazer é provar que o lado direito é igual ao esquerdo. Por quê? Porque estamos considerando uma certa propriedade verdadeira e queremos "voltar atrás" no sentido de que queremos transformar o lado direito de volta ao que temos no esquerdo. Comecemos com [math]\displaystyle{ \log_p(a) = m }[/math]

[math]\displaystyle{ p^m = a }[/math]	Reescreva como uma exponencial. A partir daí para onde ir? Reescrever de volta como log só vai desfazer o que acabamos de fazer.
[math]\displaystyle{ p^{bm} = a^b }[/math]	Calcule a mesma potência dos dois lados. Porém, não use qualquer potência, use o mesmo expoente que começamos para ver algo interessante
[math]\displaystyle{ \log_p(p^{bm}) = \log_p(a^b) }[/math]	Calcule o mesmo log em ambos os lados. Olha só! O lado direito agora é o mesmo que tínhamos no começo! Agora vamos fazer algo no lado esquerdo.
[math]\displaystyle{ bm \log_p(p) = \log_p(a^b) }[/math][math]\displaystyle{ \iff b \log_p(a) = \log_p(a^b) }[/math]	Lembre da substituição inicial. Com [math]\displaystyle{ \log_p(p) = 1 }[/math] terminamos por provar a propriedade.
Lembre-se que: [math]\displaystyle{ (p^{a})^b = p^{ab} }[/math]

• [math]\displaystyle{ \log(ab) = \log(a) + \log(b) }[/math]. Vamos começar com [math]\displaystyle{ \log(a) = m }[/math] e [math]\displaystyle{ \log(b) = n }[/math].
  
  [math]\displaystyle{ \log_p(a) = m \iff p^m = a }[/math]
  [math]\displaystyle{ \log_p(b) = n \iff p^n = b }[/math]

[math]\displaystyle{ ab = (p^m)(p^n) \iff ab = p^{m \ + \ n} }[/math]	A partir daqui poderíamos reescrever a mesma expressão como um log, mas isto só vai voltar ao mesmo lugar de antes. Além disto, não existe uma propriedade para [math]\displaystyle{ \log(m + n) }[/math]
[math]\displaystyle{ \log_p(ab) = \log_p(p^{m \ + \ n}) }[/math]	Aplique o log em ambos os lados. Note que do lado direito temos uma exponencial dentro de um log, um "cancela" o outro, deixando a potência intocada.
[math]\displaystyle{ \log_p(ab) = (m + n)\log_p(p) }[/math][math]\displaystyle{ \iff \log_p(ab) = (m + n) }[/math]	A partir daqui se reescrevermos como uma exponencial estaremos voltando atrás.
[math]\displaystyle{ \log_p(ab) = \log_p(a) + \log_p(b) }[/math]	Nós usamos uma substituição e agora estamos "desfazendo" ela.
Remember that: [math]\displaystyle{ p^a p^b = p^{a \ + \ b} }[/math]

• [math]\displaystyle{ \log\left(\frac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b) }[/math]. Esta propriedade fica mais fácil de provar com o exponente negativo:
  
  [math]\displaystyle{ \log(ab^{-1}) = \log(a) + \log(b^{-1}) }[/math] (Da propriedade anterior)
  
  [math]\displaystyle{ \log(ab^{-1}) = \log(a) - \log(b) }[/math] (Da propriedade [math]\displaystyle{ \log_p(a^b) = b\log_p(a) }[/math])
  
  Lembre-se que: [math]\displaystyle{ \frac{p^a}{p^b} = p^{a \ - \ b} }[/math]