Produto misto

O produto misto é uma operação que associa a três vetores um número real. Assim como o produto escalar e o produto vetorial, o produto misto tambem pode ser visto como uma função que leva vetores do [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] a um vetor em [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. A operação não esta definida para dimensões maiores ou menores do que três.

Ele é definido como [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} = [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] }[/math].

Dados [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (x_1, y_1, z_1) }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (x_2, y_2, z_2) }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = (x_3, y_3, z_3) }[/math] (coordenadas em relação a uma base ortonormal), o cálculo do produto misto é feito com um determinante:

[math]\displaystyle{ [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] = \left|\begin{matrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \\ \end{matrix}\right| }[/math]

Expressão cartesiana do produto misto [math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} & = (y_2z_3 - y_3z_2)\overrightarrow{e}_x - (x_2z_3 - x_3z_2)\overrightarrow{e}_y + (x_2y_3 - x_3y_2)\overrightarrow{e}_z \\ & = (y_2z_3 - y_3z_2,x_2z_3 - x_3z_2,x_2y_3 - x_3y_2) \\ \\ \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) & = (x_1, y_1, z_1) \cdot (y_2z_3 - y_3z_2,x_3z_2 - x_2z_3,x_2y_3 - x_3y_2) \\ & = x_1(y_2z_3 - y_3z_2) + y_1(x_3z_2 - x_2z_3) + z_1(x_2y_3 - x_3y_2) \end{align*} }[/math]

Fica assim demonstrada a fórmula de cálculo com determinante do produto misto.

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Propriedades do produto misto

D1. [math]\displaystyle{ [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] = 0 \iff \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} }[/math] forem LD	(dependência linear)
D2. [math]\displaystyle{ [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] = [\overrightarrow{v},\overrightarrow{w},\overrightarrow{u}] = [\overrightarrow{w},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}] }[/math]	(permutação cíclica)
D3. [math]\displaystyle{ [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] = -[\overrightarrow{v},\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}] }[/math]	(permutação de dois vetores em sequência)
D4. [math]\displaystyle{ [\overrightarrow{u}_1 + \overrightarrow{u}_2,\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] = [\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] + [\overrightarrow{u}_2,\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] }[/math] [math]\displaystyle{ [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}_1 + \overrightarrow{v}_2,\overrightarrow{w}] = [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}_1,\overrightarrow{w}] + [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}_2,\overrightarrow{w}] }[/math] [math]\displaystyle{ [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}_1 + \overrightarrow{w}_2] = [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}_1] + [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}_2] }[/math]	(trilinearidade)
D5. [math]\displaystyle{ [\alpha \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] = [\overrightarrow{u},\alpha \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] = [\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v},\alpha \overrightarrow{w}] = \alpha[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}] }[/math]	(multiplicação por escalar)

A demonstração das propriedades é semelhante às demonstrações das propriedades do produto vetorial, são todas decorrentes das propriedades dos determinantes.

Da propriedade cíclica resulta que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} }[/math] (Cuidado! Permutam-se os operadores, não os vetores. Note tambem que podemos omitir os parênteses pois não faz sentido fazer o produto escalar primeiro, que resulta num escalar, e depois o vetorial, que resulta num vetor.)

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Interpretação geométrica do produto misto

O módulo do produto misto é igual ao volume de um paralelepípedo de arestas determinadas por [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = \overrightarrow{AD} }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} }[/math].

Área da base é dada por [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}|| }[/math]

Altura é dada por [math]\displaystyle{ ||w|| |\cos \theta| }[/math] (o módulo se deve ao fato de que o cos pode ser negativo, mas a altura deve ser positiva)

Volume fica determinado por [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}||||w|| |\cos \theta| }[/math]

Fazendo uma substituição: [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} }[/math]

Temos então que o volume fica: [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{a}||||w|| |\cos \theta| }[/math]

Mas sabemos que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{w} = ||\overrightarrow{a}||||w|| \cos \theta }[/math]

Então: [math]\displaystyle{ |\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{w}| = ||\overrightarrow{a}||||w|| |\cos \theta| }[/math]

Mas a expressão anterior é igual à do volume, então: [math]\displaystyle{ |\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}| = |[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}]| }[/math]

Dividindo um paralelepípedo ao longo de uma diagonal obtemos dois prismas triangulares. Por sua vez, os prismas podem ser divididos em três tetraedros. Então o volume do tetraedro é [math]\displaystyle{ \frac{1}{6} }[/math] do volume do paralelepípedo.

Note que para fins de cálculo do volume a ordem dos vetores não importa, mas para calcular o produto misto em si a ordem é importante.