Mudança de base do logaritmo
Os logaritmos são muito naturais quando lidamos com potências de dois, potências de três ou outras potências comuns. Se tivermos [math]\displaystyle{ 2^x = 5 }[/math], sabemos que [math]\displaystyle{ 2^2 = 4 }[/math] e que [math]\displaystyle{ 2^3 = 8 }[/math]. Para [math]\displaystyle{ 2 \lt x \lt 3 }[/math] deve haver um número tal que 2 elevado a este número é exatamente igual a 5. A propriedade interessante aqui é que também podemos escrever [math]\displaystyle{ 3^y = 5 }[/math], o que significa que o número 5 pode ser expresso com muitos logs diferentes, cada um com a sua própria base. Se [math]\displaystyle{ 2^x = 5 = 3^y }[/math], a pergunta natural é se podemos reescrever um log, de uma base para outra. Sim, há uma fórmula para fazê-lo.
Vamos começar com um log arbitrário:
[math]\displaystyle{ \log_a{b} = x }[/math]
Antes de continuar, tanto o log quanto exp, escritos com um sinal de igual, representam equações. O lado esquerdo e direito são iguais, o que significa que podemos fazer a mesma operação em ambos os lados mantendo a igualdade. Portanto:
[math]\displaystyle{ a^x = b }[/math]
[math]\displaystyle{ \log_c{a^x} = \log_c{b} }[/math]
[math]\displaystyle{ x \cdot \log_c{a} = \log_c{b} }[/math]
[math]\displaystyle{ x = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}} }[/math] (podemos dividir por um log porque um log sempre é diferente de zero)
Assim provamos a fórmula da mudança de base.
Alguém pode ter perguntando como exatamente uma calculadora calcula o log. Não aprendemos isto na escola porque para isto precisamos entender limites e outros conceitos matemáticos do ensino superior. O mesmo acontece com a trigonometria. Para ângulos como 30° e 90° todo mundo aprende, mas para contas envolvendo 20° ou [math]\displaystyle{ 2^x = 5 }[/math] precisamos de conceitos aprendidos em cálculo e além. É por isto que os exercícios dão aproximações para estes casos sempre que necessário.
Além disto, quando temos logaritmos e computadores, há a questão da acurácia. A maioria dos logaritmos resulta em números irracionais porque a sequência de dígitos não tem fim. Esta discussão quase sempre é deixada para aulas de análise numérica.
Em muitos problemas que usam o log uma pergunta frequente é: Qual log? Qual base? Muito frequentemente usamos a constante de Euler. Por quê? O fato de que integrar [math]\displaystyle{ 1/x }[/math] resultada em [math]\displaystyle{ ln(x) }[/math] e que diferenciando [math]\displaystyle{ e^x }[/math] obtemos [math]\displaystyle{ e^x }[/math] facilita as contas. Na demonstração acima poderíamos ter usado [math]\displaystyle{ c = e }[/math], mas a fórmula independe da base.
