Propriedades algébricas
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right] +
\left[\begin{matrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix}
a + 1 & b + 2 \\
c + 3 & d + 4
\end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix}
1 + a & 2 + b \\
3 + c & 4 + d
\end{matrix}\right]
}[/math]
- Multiplicação por escalar
[math]\displaystyle{
x\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix}
xa & xb \\
xc & xd
\end{matrix}\right]
}[/math]
- Matriz transposta (Basta escrever os elementos de uma linha como elementos de uma coluna, mantendo-se a ordem)
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]^T =
\left[\begin{matrix}
a & c \\
b & d
\end{matrix}\right]
}[/math]
- Multiplicação de matrizes (Só esta definida quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao de linhas da segunda. Cuidado! Essa operação não é comutativa, mas em alguns casos pode ser.)
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix}
1a + 3b \\
2c + 4d
\end{matrix}\right]
}[/math]
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix}
1a + 2c \\
3b + 4d
\end{matrix}\right]
}[/math]
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix}
a \\
d
\end{matrix}\right]
}[/math]
Tipos de matrizes
- Matriz diagonal (todos os elementos acima e abaixo dos elementos da diagonal principal são nulos)
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
* & 0 & 0 \\
0 & * & 0 \\
0 & 0 & *
\end{matrix}\right]
}[/math]
- Matriz triangular superior (todos os elementos abaixo dos elementos da diagonal principal são nulos)
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
* & * & * \\
0 & * & * \\
0 & 0 & *
\end{matrix}\right]
}[/math]
- Matriz triangular inferior (todos os elementos acima dos elementos da diagonal principal são nulos)
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
* & 0 & 0 \\
* & * & 0 \\
* & * & *
\end{matrix}\right]
}[/math]
- Matriz identidade (é uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal são unitários)
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right]
}[/math]
- Matriz simétrica (é uma matriz tal que [math]\displaystyle{ A^T = A }[/math]
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
1 & 7 & 3 \\
7 & 4 & -5 \\
3 & -5 & 6
\end{matrix}\right]
}[/math]
- Matriz antisimétrica (é uma matriz tal que [math]\displaystyle{ A^T = -A }[/math]. Note que a diagonal é preenchida por zeros.)
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
0 & 2 & -1 \\
-2 & 0 & -4 \\
1 & 4 & 0
\end{matrix}\right]
}[/math]
- Matriz involutiva (é uma matriz tal que [math]\displaystyle{ A^{-1} = A }[/math])
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{matrix}\right]
}[/math]
- Matriz ortogonal (é uma matriz tal que [math]\displaystyle{ A^T = A^{-1} }[/math])
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{matrix}\right]
}[/math]
- Matriz singular (é uma matriz não inversível)
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{matrix}\right]
}[/math]
Matrizes elementares
Quando se realizam operações elementares sobre as linhas de uma matriz isso é equivalente ao produto, pela esquerda, de uma matriz identidade com a matriz desejada. Realize a operação elementar sobre as linhas da matriz identidade, faça o produto e o resultado é a operação elementar aplicada sobre a matriz desejada. Veja exemplos:
- Troca de linhas (primeira pela terceira)
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix}
g & h & i \\
d & e & f \\
a & b & c
\end{matrix}\right]
}[/math]
- Multiplicar uma linha por uma constante não nula
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
x & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix}
ax & bx & cx \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{matrix}\right]
}[/math]
- Somar uma linha com outra (somando a primeira com a segunda)
[math]\displaystyle{
\left[\begin{matrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{matrix}\right] =
\left[\begin{matrix}
a + d & b + e & c + f \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{matrix}\right]
}[/math]
Cuidado! Se a matriz identidade for multiplicada pela direita a operação elementar atuará sobre as colunas da matriz, não sobre as linhas.
