Fórmulas de derivação

From Applied Science

Frequentemente os professores de cálculo pulam as demonstrações abaixo porque não há tempo suficiente para fazer todas em aula.

  • [math]\displaystyle{ f(x) = c }[/math]. Esta é a derivada mais trivial: [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ h} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{c - c}{h} = 0 }[/math]. Uma função constante nunca muda o seu valor. Portanto a sua taxa de variação é sempre zero.


  • [math]\displaystyle{ f(x) = x^n \implies f'(x) = nx^{n \ - \ 1} }[/math]. Uma confusão que acontece aqui é causada pelo problema da reta tangente. Quando diferenciamos uma função polinomial de grau dois, o resultado é uma função polinomial de grau um e uma reta. Porém, se o grau for 3 ou maior, ainda temos o problema da reta tangente, mas a derivada não será um polinômio de grau um!

    [math]\displaystyle{ f(x) = x^{-n} \implies f'(x) = -nx^{-n \ - \ 1} }[/math].

    [math]\displaystyle{ f(x) = x^{\frac{1}{n}} \implies f'(x) = \frac{1}{n}x^{n \ - \ \frac{1}{n}} }[/math].


  • [math]\displaystyle{ (f \pm g)'(x) = f'(x) \pm g'(x) }[/math]. A derivada da soma é a soma das derivadas. A demonstração é idêntica à soma de limites, porque a derivada é um limite.


  • [math]\displaystyle{ (c \cdot f)'(x) = c \cdot f'(x) }[/math]. A mesma regra com limites.


  • [math]\displaystyle{ (f \cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) }[/math]. A derivada do produto não é o produto das derivadas! Isto é contrário aos dois anteriores. Com limites nós temos o produto dos limites porque temos um ponto fixo. Porém, com derivadas temos taxas de variação, não um ponto fixo. A interpretação geométrica é semelhante à da propriedade [math]\displaystyle{ (a + b)^2 }[/math]:



    Vamos chamar [math]\displaystyle{ f(x) = u }[/math] e [math]\displaystyle{ g(x) = v }[/math]. Vamos assumir que os seus respectivos valores são positivos e interpretar o produto como a área de um retângulo. Indo além, vamos pensar em diferenciais e pequenos incrementos na variável [math]\displaystyle{ x }[/math]. (Lembre-se que [math]\displaystyle{ |f(a) - f(b)| \gt 0 }[/math]):

    [math]\displaystyle{ \Delta u = f(x + \Delta x) - f(x) }[/math]
    [math]\displaystyle{ \Delta v = g(x + \Delta x) - g(x) }[/math]

    Agora, para uma pequena variação na área do retângulo maior temos:

    [math]\displaystyle{ \Delta (uv) = (u + \Delta u)(v + \Delta v) - uv = u \Delta v + v \Delta u + \Delta u \Delta v }[/math] (o termo negativo vem do fato de que um pedaço da área esta sendo contado duas vezes)

    Agora queremos usar a ideia de um quociente da mesma forma que Leibniz fez, o que também é a ideia de diferenciar uma função em relação a sua variável independente:

    [math]\displaystyle{ \frac{\Delta (uv)}{\Delta x} = u \frac{\Delta v}{\Delta x} + v \frac{\Delta u}{\Delta x} + \Delta u \frac{\Delta v}{\Delta x} }[/math]

    A derivada é um limite, portanto:

    [math]\displaystyle{ \lim_{\Delta x \ \to \ 0}\frac{\Delta (uv)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \ \to \ 0}\left( u \frac{\Delta v}{\Delta x} + v \frac{\Delta u}{\Delta x} + \Delta u \frac{\Delta v}{\Delta x}\right) }[/math]

    O terceiro termo vai pra zero e os outros dois são uma soma de limites, onde cada termo é a derivada na notação de Leibniz:

    [math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} }[/math]

    Substitua [math]\displaystyle{ u }[/math] e [math]\displaystyle{ v }[/math] por [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] e [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] e provamos a fórmula.

    Observação: Podemos fazer [math]\displaystyle{ x^5 = x^3 x^2 }[/math]? Sim, podemos usar as propriedades da potência e ver uma função com um produto de duas funções. Mas isto não vai ajudar em nada e apenas tornará as contas mais demoradas sem necessidade. Inclusive, podemos ver a regra da multiplicação de uma função por uma constante como um caso particular do produto de duas funções.


  • [math]\displaystyle{ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] ' = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} }[/math]. Como visto anteriormente, a derivada do quociente não é o quociente das derivadas. É muito comum as pessoas memorizarem esta regra por meio da anterior, trocando o sinal de mais por um de menos e dividindo tudo pelo quadrado da segunda função. O método mais rápido de provar a fórmula é se aproveitar da anterior, o que pula a necessidade de escrever contas longas com limites.

    [math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)} = h(x) \iff f(x) = h(x)g(x) }[/math] (Em outras palavras, o quociente pode ser reescrito como um produto porque não estamos dividindo por zero)

    [math]\displaystyle{ f'(x) = h'(x)g(x) + g'(x)h(x) }[/math]

    [math]\displaystyle{ f'(x) - g'(x)h(x) = h'(x)g(x) }[/math]

    [math]\displaystyle{ \frac{f'(x) - g'(x)h(x)}{g(x)} = h'(x) }[/math] (para completar a prova substituímos [math]\displaystyle{ h(x) }[/math])

    [math]\displaystyle{ \frac{f'(x) - g'(x)\frac{f(x)}{g(x)}}{g(x)} = h'(x) }[/math] (use o mínimo múltiplo comum)

    [math]\displaystyle{ \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{[g(x)]^2} = h'(x) }[/math]

    Observação: os livros frequentemente omitem o [math]\displaystyle{ (x) }[/math] da prova porque estamos realizando cálculos com funções que já são contínuas e diferenciáveis. Não precisamos nos importar com os pontos em si.


Links para as demonstrações:

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