Exercícios de produto misto
- Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (2,-2,0) }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (0,1,0) }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = (-2,-1,-1) }[/math].
Basta aplicar o produto misto:
[math]\displaystyle{ \left|\begin{matrix} 2 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & -1 \end{matrix}\right| = -2 }[/math]
Portanto o volume é 2 (duas unidades).
- Prove que a altura do tetraedro ABCD relativa à base ABC é
[math]\displaystyle{ h = \frac{[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}]}{||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}||} }[/math]
O volume do tetraedro é
[math]\displaystyle{
V = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}]\frac{1}{6}
}[/math]
ou
[math]\displaystyle{
V = \frac{1}{3}\frac{||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}||}{2} h
}[/math]
Igualando as duas equações:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \frac{1}{3}\frac{||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}||}{2} h & = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}]\frac{1}{6} \\ \\ h & = \frac{[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}]}{||\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}||} \end{align*} }[/math]
- Calcule [math]\displaystyle{ [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] }[/math] sabendo que [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u}|| = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{v}|| = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{w}|| = 3 }[/math] e que [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}) }[/math] é uma base negativa, sendo [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} }[/math] dois a dois ortogonais.
O produto misto é, em módulo, o volume de um paralelepípedo formado pelos vetores. Como os vetores são dois a dois ortogonais basta multiplicar as normas dos vetores. Como a base é negativa inverte-se o sinal.
[math]\displaystyle{ [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] = -6 }[/math]
- A medida em radianos do ângulo entre [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] é [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{6} }[/math], e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] é ortogonal a [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e a [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math]. Sendo [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u}|| = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{v}|| = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{w}|| = 4 }[/math], e [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}) }[/math] base positiva, ache [math]\displaystyle{ [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] }[/math].
O volume do paralelepípedo tambem pode ser calculado com área da base x altura. Temos que os vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] representam o paralelogramo da base e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math], por ser ortogonal aos dois anteriores, é a altura.
Área da base: [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}|| \text{ sen } \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} }[/math]
Volume: [math]\displaystyle{ [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2 }[/math] (como a base é positiva não invertemos o sinal)
- Prove que se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} + \overrightarrow{w} \times \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} }[/math], então [math]\displaystyle{ \{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}\} }[/math] é linearmente dependente.
Fazendo o produto escalar em ambos os lados da equação transformamos a soma de produtos vetoriais numa soma de produtos mistos:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}] + [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] + [\overrightarrow{u},\overrightarrow{w},\overrightarrow{u}] & = \overrightarrow{0} \cdot \overrightarrow{u} \\ 0 + [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] + 0& = 0 \\ [\overrightarrow{v},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}] + [\overrightarrow{v},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] + [\overrightarrow{v},\overrightarrow{w},\overrightarrow{u}] & = \overrightarrow{0} \cdot \overrightarrow{v} \\ 0 + 0 + [\overrightarrow{v},\overrightarrow{w},\overrightarrow{u}] & = 0 \\ [\overrightarrow{w},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}] + [\overrightarrow{w},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}] + [\overrightarrow{w},\overrightarrow{w},\overrightarrow{u}] & = \overrightarrow{0} \cdot \overrightarrow{w} \\ [\overrightarrow{w},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}] + 0 + 0 & = 0 \\ \end{align*} }[/math]
- Prove que [math]\displaystyle{ |[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}]| \le ||\overrightarrow{u}|| \cdot ||\overrightarrow{v}|| \cdot ||\overrightarrow{w}|| }[/math]
Utilizando as fórmulas do produto escalar e da norma do produto vetorial, escrevemos:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w} & = ||\overrightarrow{u}|| \cdot ||\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}||\cos \theta \\ & = ||\overrightarrow{u}|| \cdot ||\overrightarrow{v}|| \cdot ||\overrightarrow{w}||\cos \theta \text{ sen } \phi \end{align*} }[/math]
Cos e sen são funções que variam entre [-1, 1], de maneira que o produto de ambas tambem esta no intervalo [-1, 1]. O produto escalar é máximo quando [math]\displaystyle{ \cos \theta = 1 }[/math], ou seja, [math]\displaystyle{ \theta = 0 }[/math]. O produto vetorial é máximo quando [math]\displaystyle{ \text{sen } \phi = 1 }[/math], ou seja, [math]\displaystyle{ \phi = \frac{\pi}{2} }[/math]. Ficam assim demonstrado que [math]\displaystyle{ |\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \times\overrightarrow{w}| \le ||\overrightarrow{u}|| \cdot ||\overrightarrow{v}|| \cdot ||\overrightarrow{w}|| }[/math].
Interpretação geométrica: o produto misto é, em módulo, o volume de um paralelepípedo. O volume deste paralelepípedo é máximo quando os vetores são dois a dois ortogonais. Se o ângulo entre os vetores for mudado, mas mantendo-se as normas, o volume só pode diminuir.
