Exercícios de ângulo entre retas
- Obtenha equações na forma simétrica de uma reta que contém o ponto [math]\displaystyle{ \text{P} = (1 ,-2,3) }[/math] e forma ângulos de 45° e 60°, respectivamente, com os eixos Ox e Oy.
O exercício é visualizado em três dimensões, pois é imediato verificar que, como o ângulo entre os eixos Ox e Oy é de 90° e os ângulos da reta pedida são, respectivamente, 45° e 60° com os eixos Ox e Oy, a reta não está contida no plano Oxy. Os planos determinados pelo vetor que forma os ângulos pedidos com os vetores diretores de Ox e Oy não são paralelos. Note que o ângulo é dado em função dos vetores diretores, não tem relação com a existência ou não de um ponto de intersecção entre as retas.
Seja [math]\displaystyle{ \overrightarrow{d} = (x,y,z) }[/math] um vetor diretor da reta r pedida, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} = (1,0,0) }[/math] o vetor diretor de Ox e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{y} = (0,1,0) }[/math] o vetor diretor de Oy. Temos que:
[math]\displaystyle{ \frac{\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{x}}{||\overrightarrow{d}|||\overrightarrow{x}|||} = \cos 45° \\ }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{\overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{y}}{||\overrightarrow{d}|||\overrightarrow{y}|||} = \cos 60° }[/math]
Para facilitar as contas vamos considerar [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{d}|| = 1 }[/math] (existem infinitos vetores diretores da reta pedida que formam os ângulos pedidos, em particular, consideremos aquele que tem norma um):
[math]\displaystyle{ \begin{align*} (x,y,z) \cdot (1,0,0) & = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ (x,y,z) \cdot (0,1,0) & = \frac{1}{2} \end{align*} }[/math]
Calculando os produtos escalares encontramos [math]\displaystyle{ x = \frac{\sqrt{2}}{2} }[/math] e [math]\displaystyle{ y = \frac{1}{2} }[/math]. Falta a coordenada z. Como estamos considerando que o vetor tem norma um, então:
[math]\displaystyle{ \left|\left|\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2},z\right)\right|\right| = 1 \\ \\ \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + z^2} = 1 }[/math]
Resolvendo a equação encontramos [math]\displaystyle{ z = \frac{1}{2} }[/math] ou [math]\displaystyle{ z = -\frac{1}{2} }[/math].
Dois possíveis vetores diretores da reta pedida são [math]\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) }[/math] ou [math]\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) }[/math]. Existem ainda mais dois vetores possíveis, pois como podemos considerar uma reta orientada em ambos os sentidos, tambem temos o ângulo formado entre o vetor procurado e os vetores diretores de Ox e Oy no sentido negativo. Assim, considerando o vetor diretor [math]\displaystyle{ -\overrightarrow{x} }[/math] (ou considerando a reflexão em relação a y com o vetor [math]\displaystyle{ -\overrightarrow{y} }[/math]), os possíveis vetores que formam os ângulos pedidos são [math]\displaystyle{ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) }[/math] ou [math]\displaystyle{ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right) }[/math]. Outra maneira de visualizar isso é orientando o ciclo trigonométrico ao contrário, no sentido horário: 45° no sentido horário é 135° no anti-horário e 60° no horário é 120° no anti-horário.
Multiplicando os vetores diretores por 2 e usando o ponto P como origem da reta, escrevemos as equações vetoriais das retas:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} r: \text{X} & = (1,-2,3) + \lambda (\sqrt{2},1,1) \\ s: \text{X} & = (1,-2,3) + \lambda (\sqrt{2},1,-1) \\ t: \text{X} & = (1,-2,3) + \lambda (-\sqrt{2},1,1) \\ u: \text{X} & = (1,-2,3) + \lambda (-\sqrt{2},1,-1) \end{align*} }[/math]
Com as equações na forma paramétrica verificamos que não existe intersecção entre as retas encontradas e os eixos Ox e Oy.
Transformando numa equação simétrica:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} r: & \frac{\text{X} - 1}{\sqrt{2}} = y + 2 = z -3 \\ \\ s: & \frac{\text{X} - 1}{\sqrt{2}} = y + 2 = \frac{z -3}{-1} \\ \\ t: & \frac{\text{X} - 1}{-\sqrt{2}} = y + 2 = z -3 \\ \\ u: & \frac{\text{X} - 1}{-\sqrt{2}} = y + 2 = \frac{z -3}{-1} \end{align*} }[/math]
Cuidado! Não confundir o ângulo definido entre as retas e o ângulo definido entre os vetores! Nos exercícios sempre se considera o ângulo entre os vetores diretores, daí existirem muitas soluções. Cada reta possui dois sentidos de orientação, um positivo e outro negativo, daí a existência de mais de um par de vetores diretores que determinam o mesmo ângulo.
- Determine o ponto P na reta [math]\displaystyle{ r: \text{X} = (0,2,0) + \lambda (0,1,0) }[/math] e o ponto Q na reta [math]\displaystyle{ s: (1,2,0) + \lambda (0,0,1) }[/math], tais que a reta PQ forme ângulos de 45° com r e de 60° com s.
É imediato verificar que as retas são ortogonais, mas não perpendiculares. Se o fossem seria impossível conseguir uma reta que forme os ângulos pedidos e tenha intersecção com r e s.
Seja [math]\displaystyle{ \overrightarrow{d} = (x,y,z) }[/math] um vetor diretor da reta que contém o segmento PQ, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{y} = (0,1,0) }[/math] o vetor diretor de r e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{z} = (0,0,1) }[/math] o vetor diretor de s. Seguindo o mesmo raciocínio do exemplo anterior encontramos dois possíveis vetores diretores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{d}_1 = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \right) }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{d}_2 = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \right) }[/math]
Todos os pontos de r tem a forma [math]\displaystyle{ (0,y,0) }[/math] e todos os pontos de s a forma [math]\displaystyle{ (1,2,z) }[/math]. Escolhendo um ponto de r e outro de s e usando-os como origem de duas retas paralelas que tenham o vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{d} }[/math] como vetor diretor, escrevemos duas equações vetoriais de duas retas:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} a: \text{X} = (0,y,0) + t\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2} \right) \\ b: \text{X} = (1,2,z) + p\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2} \right) \end{align*} }[/math]
Transformando as equações na forma paramétrica e calculando a intersecção encontramos z = 1, enquanto y e t ficam definidos em função do parâmetro p. São infinitas soluções, pois as retas são coincidentes. Não conseguimos calcular y, mas encontramos [math]\displaystyle{ \text{Q}_1 = (1,2,1) }[/math]. A partir de Q e dos vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{d}_1 }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{d}_2 }[/math] obtemos duas equações vetoriais de retas que formam ângulos de 45° com r e 60° com s:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} c: & \text{X} = (1,2,1) + t\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2} \right) \\ d: & \text{X} = (1,2,1) + t\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2} \right) \end{align*} }[/math]
A reta c intercepta s em [math]\displaystyle{ \text{P}_1 = (0, 2 - \sqrt{2}, 0) }[/math]. Já a reta d intercepta r mas não s, então [math]\displaystyle{ \overrightarrow{d}_2 }[/math] não serve para encontrar um ponto P como pede o enunciado.
Os pontos origem de cada reta são os pontos mais próximos de uma reta à outra, então é possível encontrar os demais pontos por simetria. [math]\displaystyle{ \text{Q}_1 }[/math] está deslocado de uma unidade no eixo z em relação ao ponto mais próximo de s em r, isso significa que fazendo a reflexão do vetor diretor em em relação a z encontramos [math]\displaystyle{ \text{Q}_2 = (1,2,-1) }[/math]. [math]\displaystyle{ \text{P}_1 }[/math] está deslocado de [math]\displaystyle{ -\sqrt{2} }[/math] unidades no eixo y em relação ao ponto mais próximo de r em s, isso significa que fazendo a reflexão do vetor diretor em relação a y encontramos [math]\displaystyle{ \text{P}_2 = (0,2 + \sqrt{2}, 0) }[/math].
Os segmentos procurados são: [math]\displaystyle{ \overline{\text{P}_1\text{Q}_1} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{\text{P}_1\text{Q}_2} }[/math], [math]\displaystyle{ \overline{\text{P}_2\text{Q}_1} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overline{\text{P}_2\text{Q}_2} }[/math]. Como as distâncias entre os pontos não são todas iguais a figura não é um tetraedro.
