Erros cometidos com gráficos

• Funções crescentes, decrescentes e constantes. Primeiro, para idiomas que são escritos da direita para a esquerda, esta pode ser uma fonte de confusão. A outra confusão diz respeito à leitura do próprio gráfico. Pode acontecer de algumas pessoas pensarem que "positividade" se associa com funções crescentes e "negatividade" com funções decrescentes. Enquanto "nulo" seria constante. Uma outra fonte de confusões é a concavidade. Às vezes as pessoas associam "concavidade para cima" com ser crescente e "concavidade para baixo" com ser decrescente. É especulação minha, mas imagino que pode acontecer até mesmo a associação entre uma rampa e a aceleração com crescente ou decrescente por causa da interpretação física.
  
  Eu penso que estas confusões ocorrem devido à forma com que os professores ensinam sobre funções. Uma função é crescente num certo intervalo não porque todos os valores de [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] naquele intervalo são positivos, mas porque a sua taxa de variação é positiva. Uma função é decrescente num certo intervalo porque a sua taxa de variação é negativa, não porque os valores de [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] se localizam na faixa negativa do eixo vertical. Por último, uma função constante não varia, a taxa de variação não muda. Não é literalmente [math]\displaystyle{ f(x) = 0 }[/math].
  
  Podemos dizer que uma função é crescente, decrescente ou constante num ponto? Esta pergunta é conceitualmente imprecisa. Uma função é crescente ou decrescente num certo intervalo, uma sequência de pontos. Sem um intervalo não há como falar em taxa de variação para começo de conversa.

• Suponha que o gráfico de uma função mostra que [math]\displaystyle{ f(b) \gt f(a) }[/math] com [math]\displaystyle{ b \gt a }[/math]. Não podemos concluir que a função é crescente de [math]\displaystyle{ a }[/math] até [math]\displaystyle{ b }[/math]. O gráfico pode ter pontos onde ele muda de crescente para decrescente e vice-versa. Pela mesma razão, [math]\displaystyle{ f(b) \lt f(a) }[/math] não garante que a função é sempre decrescente naquele intervalo.

• Há um erro muito comum que mostra calaramente que as pessoas não entendem o conceito de função. Suponha que um problema descreva algo como o crescimento populacional, a variação da temperatura com o tempo ou o brilho de uma luz em relação à potência elétrica. O problema fornece um gráfico, o que nos livra de ter que coletar dados e traçar um gráfico. A pergunta do exercício é: começando às 2 horas, depois de 1 hora, qual vai ser a temperatura? Para um brilho de x unidades, qual a potência elétrica? Qual deve ser a população no ano x? A incapacidade de responder estas perguntas quando todas as informações são dadas mostra que a pessoa realmente não entende o gráfico da função. Um ponto curioso é que às vezes a pessoa não entende o gráfico mas sabe fazer as contas e resolvar a equação.

• Ler o gráfico de funções de uma variável é bastante fácil. Mesmo assim, de tempos em tempos, algumas pessoas confundem [math]\displaystyle{ x }[/math] com [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Isto é especialmente problemático na física. Suponha que temos uma função que mostra Velocidade x Tempo. Não é incomum uma pessoa ler o gráfico confundindo o tempo com a velocidade, interpretando erroneamente o gráfico quando perguntado sobre a velocidade ou o tempo. Quando aprendemos sobre derivadas e integrais fica ainda pior! Não é incomum uma pessoa confundir o gráfico de cada um porque não estamos mais falando de uma função, mas três funções e três gráficos (a função, a sua derivada e a integral).

• O outro erro comum é confundir a posição ou a trajetória com a velocidade ou a aceleração. Suponha que uma função seja uma linha reta que começa num certo instante de tempo e v(t) = -10 m/s. Algum tempo depois temos v(t) = 10 m/s. Primeiro, quem disse que a trajetória é uma linha reta? O gráfico é Velocidade x Tempo. Segundo, velocidade é um vector, o sinal indica a direção, não a magnitude. Terceiro, integrando v(t) obtém-se x(t) e o gráfico deve ser uma parábola. Porém, quem disse que x(t) é o gráfico de uma trajetória? O movimento em si não é uma parábola! É a distância a partir da origem que se comporta como uma parábola.

• Trajetórias x curvas planas x gráfico de funções. Não é incomum as pessoas confundirem equações de linhas ou planos com funções de duas ou três variáveis.
  
  Suponha que uma pessoa esta correndo em círculos no plano Cartesiano. O círculo é descrito por uma equação desta forma: [math]\displaystyle{ 4 = x^2 + y^2 }[/math]. No exemplo temos um círculo de raio 2 centrado na origem (0,0). Mais tarde aprendemos sobre funções duas variáveis e a equação anterior pode ser vista como uma curva de nível. Isto [math]\displaystyle{ f(x,y) = x^2 + y^2 - 4 }[/math], é uma função de duas variáveis, não a equação de um círculo!
  
  Cuidado com [math]\displaystyle{ y = x }[/math] e [math]\displaystyle{ y = f(x) }[/math]. O primeiro pode significar duas coisas: que dois números são iguais ou a equação de uma reta, tal que em todos os seus pontos as coordenadas x e y são iguais. O segundo é uma forma de dizer "a coordenada vertical de cada ponto do gráfico da função é dada por uma fórmula que calcula o valor da função para cada [math]\displaystyle{ x }[/math]".
  
  Para evitar a confusão entre o plano cartesiano da geometria analítica e o plano cartesiano das funções eu diria o seguinte: na geometria analítica temos as variáveis X e Y independentes, podemos escolher livremente as coordenadas porque uma não depende da outra. É por isto que podemos traçar círculos na geometria analítica. Já no caso de uma função uma variável depende da outra, no eixo vertical os valores sempre dependem dos valores do eixo horizontal. É por isto que as funções só podem crescer, decrescer ou permanecerem constantes. Só podemos ir para frente ou para trás. Cada mudança no valor de [math]\displaystyle{ x }[/math] implica numa mudança do valor de [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. O que deixa os valores de [math]\displaystyle{ x }[/math] e [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] tão fortemente atrelados? É a própria função!

• Gráfico vs função. O gráfico de uma função é a própria função? Não exatamente. A função é um conceito, não um desenho! O gráfico serve para visualizar a função e assim permitir a identificação de padrões. O que pode coincidir é que alguns objetos no mundo ou formas podem se assemelhar com o formato do gráfico de uma função. Trajetórias por exemplo. Uma linha reta é apenas isto, uma linha reta. Agora uma função linear, o gráfico é uma linha reta. A linha em si não é uma função. Frequentemente usamos gráfico e função sem distinção, mas é bom saber as diferenças entre um e outro.

• Este erro surge do fato de que quando aprendemos sobre o módulo pela prima vez, não sabemos ainda o conceito de função. Muitos professores e livros ensinam que "o módulo apaga o sinal de menos" de um número. É melhor dizer que o módulo é uma função, porque o módulo é uma função modular. Com o módulo temos que [math]\displaystyle{ |2| = |-2| }[/math]. Esta definição "o módulo é uma operação que elimina o sinal de menos" pode levar ao erro que é pensar que "menos dois é igual a dois". O modo correto de pensar ler o módulo é "o módulo de menos dois é igual ao módulo de dois". Uma diferença bastante sutil! Ninguém vê a expressão [math]\displaystyle{ -2 = 2 }[/math] como correta porque é claramente um absurdo. Porém, a consequência direta de interpretar erroneamente o módulo acomete os gráficos de funções. Suponha que temos a seguinte função [math]\displaystyle{ f(x) = |x| }[/math]. Pensando assim "menos dois é igual a dois" pode levar ao erro de fazer o gráfico com 2 e -2 na mesma posição. O que é igual na função dada é [math]\displaystyle{ f(-2) = f(2) \ !!! }[/math]. É um errinho que eu já cometi inúmeras vezes.
  
  Eu nunca gostei da definição de que o módulo apaga o sinal de um número. Todos aprendemos que um número só pode ser positivo, negativo ou nulo. O que seria o "número absoluto"?? Um número que não é nem positivo e nem negativo? Esta é a confusão que acontece com o valor absoluto quando não sabemos o que é uma função.

• Quando você constrói o ciclo trigonométrico, não faça isto: [math]\displaystyle{ \cos(x) \times \sen(y) }[/math]. O ciclo trigonométrico não é uma função de uma variável e muito menos uma de duas variáveis. É apenas um círculo no plano cartesiano. Os eixos em si não são funções e nem mesmo ângulos. Se você chamar o eixo horizontal de [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math] o que você estará fazendo é dizendo que "Quando [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math], o comprimento é um e [math]\displaystyle{ \cos(1) = 1 }[/math]". Análogamente, estará dizendo o mesmo no eixo vertical "Quando [math]\displaystyle{ y = 1 }[/math], o comprimento é um e [math]\displaystyle{ \sen(1) = 1 }[/math]". Este erro significa que, inadvertidamente, você esta tratando seno e cosseno como funções lineares.

• Há uma simples confusão que deve ter acontecido com todo mundo quando lidamos com gráficos de funções trigonométricas pela primeira vez. Quando aprendemos sobre o seno, cosseno e tangente pela primeira vez, temos uma ideia geométrica fortemente baseada em ângulos e triângulos. O plano tem dois eixos, um para a variável, o ângulo no caso e o outro para a imagem da função. Pelo menos uma vez a maioria deve ter pensado que, por exemplo sen(45°), vamos no plano cartesiano e literalmente medimos um ângulo de 45° e marcamos um ponto. Isto ocorre antes mesmo de aprendermos sobre as coordenadas polares.

• Quando fazemos [math]\displaystyle{ f(x,y) = c }[/math], uma confusão possível é pensar que [math]\displaystyle{ c = x = y }[/math]. Não estamos tratando as variáveis da função como constantes. O que estamos tratando como constante é a imagem, o valor da função. O que estamos traçando é todo par [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] para os quais a função tem um certo valor constante. Da mesma forma que mais de um [math]\displaystyle{ x }[/math] pode corresponder a um, e apenas um, [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Muitos valores para as variáveis dependentes podem resultar numa mesma constante com funções de várias variáveis.