Erros cometidos com funções

Sobre o conceito

• É fácil de confundir o domínio de funções compostas. Por via de regra, o domínio de [math]\displaystyle{ f(g(x)) }[/math] nunca pode ser maior do que os domínios de [math]\displaystyle{ f }[/math] ou [math]\displaystyle{ g }[/math]. Pense nesta analogia: o conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números reais. É impossível para um subconjunto conter mais elementos do que o conjunto maior do qual o subconjunto faz parte de. Sempre pense nos valores permitidos e nos proibidos para a função mais externa.

Confusão entre funções de uma e várias variáveis

• Eu nunca vi, mas pode ser que aconteça. Suponha que temos [math]\displaystyle{ f(x,y) = x + y }[/math]. Uma pessoa pode se confundir e fazer isto [math]\displaystyle{ g(x) = x }[/math] e [math]\displaystyle{ h(y) = y }[/math], daí [math]\displaystyle{ f(x,y) = g(x) + h(y) }[/math]. Os resultados numéricos são iguais tanto para a função de duas variáveis quanto para uma soma de duas funções de uma variável. Porém, não podemos dividir uma função de duas variáveis em funções de uma variável assim! O erro aí é que cada função de uma variável tem o seu domínio particular e cada uma representa um processo independente do outro. Pense na raiz quadrada e nas funções trigonométricas. Para alguns pares de números o procedimento anterior pode funcionar, mas é fácil ver que a soma das raízes ou a soma de senos não é igual à raiz da soma ou o seno da soma.

• [math]\displaystyle{ f(x,y) = x^2 }[/math]. Isto é uma função de uma variável ou de duas? O fato da equação não conter um [math]\displaystyle{ y }[/math] não quer dizer que "a segunda variável não existe". Ela existe. Onde? É uma constante, o zero.

• [math]\displaystyle{ f(a,b) = ab }[/math] é uma função de duas variáveis. Porém, [math]\displaystyle{ f(x) = (a + b)x }[/math] é uma função de uma variável. Às vezes temos uma associação tão forte entre letras e variáveis que contamos mais variáveis do que realmente tem, esquecendo que algumas letras são apenas constantes. Isto é especialmente comum na física porque tem muitos parâmetros numa equação e apenas uma variável é importante quando estamos diferenciado ou integrando alguma coisa.

Sobre as propriedades

• [math]\displaystyle{ f(x) = 3 }[/math] é uma função constante e o número 3 é ímpar. Mas a função é par. Às vezes pode confundir.

Sobre o zero e o conjunto vazio

• Eu não sei se isto ocorre, mas algumas pessoas podem achar que se uma função é indefinida num ponto, é o mesmo que dizer que a função é nula ali. Não exatamente. O zero é um número e se um conjunto contém apenas o zero, não é um conjunto vazio porque ele tem sim um elemento.

Sobre a trigonometria

• Um erro que pode acontecer é as pessoas acharem que quando temos uma função que é uma combinação de funções trigonométricas e não trigonométricas, os argumentos são diferentes para cada uma. Não!! Lembre-se que o radiano é apenas um caso especial de número irracional. Não há necessidade de se trabalhar com uma variável diferente na raiz quadrada, log ou polinomial. Acho que uma confusão relacionada com a anterior é como lemos o número [math]\displaystyle{ \pi }[/math]. Às vezes lemos como [math]\displaystyle{ 1 \pi }[/math], o que pode acarretar uma confusão entre [math]\displaystyle{ \pi }[/math] e "um radiano".

Sobre os sinais

• Sejam [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] dois números do domínio da função tais que [math]\displaystyle{ x_2 \gt x_1 }[/math]. Não podemos concluir que [math]\displaystyle{ f(x_2) \gt f(x_1) }[/math] sem saber se a função é crescente ou não! Uma confusão semelhante ocorre quando pensamos que [math]\displaystyle{ -2 \gt -1 }[/math] porque o sinal negativo inverte a comparação.

• Suponha que temos esta função [math]\displaystyle{ f(x) = -x }[/math]. Se aplicarmos [math]\displaystyle{ -x }[/math], a função produz um valor positivo, não negativo! Por exemplo: queremos calcular [math]\displaystyle{ f(-2) }[/math]. Por uma confusão mental entre variável dependente e independente acabamos fazendo isto [math]\displaystyle{ f(-2) = -2 }[/math]. Minha hipótese é a de que mentalmente acabamos tratando [math]\displaystyle{ -x }[/math] e [math]\displaystyle{ (-1)x }[/math] como duas coisas diferentes, quando são a mesma coisa.

• [math]\displaystyle{ f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)} }[/math]. O significado de [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math] é inverso da função, que não é a mesma coisa que calcular o inverso do valor da função em [math]\displaystyle{ x }[/math]. É bastante comum confundir, mas o inverso de uma função é um conceito. O inverso de um número é outro número e geralmente pensamos numa fração. Agora uma função em si não é um número e o inverso da função também não é um número, mas um conceito que diz que se relacionamos [math]\displaystyle{ a }[/math] com [math]\displaystyle{ b }[/math], a relação inversa, se existir, é [math]\displaystyle{ b }[/math] com [math]\displaystyle{ a }[/math]. Esta é a forma que eu teria para diferenciar a mesma palavra e notação para indicar duas coisas distinas.
  
  Por outro lado, [math]\displaystyle{ -f(x) }[/math] significa multiplicar a função por menos um. Esta operação troca o sinal de todos os valores da função em cada ponto. Positivo se torna negativo e negativo se torna positivo. Cuidado! Invertemos o sinal do valor da função, não o sinal do argumento da função!

• Uma outra confusão relacionada com a anterior diz respeito às palavras "inverso" e "oposto". Pergunte para alguém qual o inverso / oposto de subir. A resposta vai ser descer. No cotidiano tanto faz o invero ou o oposto, não temos maiores problemas. Porém, na matemática há distinção. O inverso do exp é o log, mas ambas são funções estritamente crescentes ou decrescentes se invertermos o sinal. Aí esta a confusão! Não é incomum uma pessoa pensar que o inverso de uma função é, literalmente, uma função decrescente e vice-versa.

Sobre equações

• Frequentemente aprendemos que [math]\displaystyle{ x^2 - 1 = 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ 2x^2 - 2 = 0 }[/math] tem as mesmas raízes. Quando resolvemos equações podemos multiplicar todos os termos por uma constante porque as raízes não mudam. Porém, o gráfico da função muda quando fazemos esta operação! As raízes se mantém, mas o gráfico mudou e a função não é mais a mesma. Pense em vetores e álgebra linear. Quando multiplicamos um vetor por uma constante, não mudamos a orientação do vetor, mas mudamos a sua magnitude. Por exemplo: pegue uma função [math]\displaystyle{ \sen(x) }[/math] ou [math]\displaystyle{ \cos(x) }[/math]. Se multiplicarmos por uma constante, mudamos a amplitude da onda, mas não os pontos em que o gráfico cruza o eixo x.

• Quando aprendemos sobre funções pela primeira vez, a expressão [math]\displaystyle{ 1 = 2 }[/math] nunca é verdadeira. Porém, [math]\displaystyle{ f(1) = 2 }[/math] pode ser verdadeira e isto depende da função. Leia-se "a função [math]\displaystyle{ f }[/math], calculada no ponto [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math], é igual a 2" ou "a função [math]\displaystyle{ f }[/math] é igual a 2 quando a calculamos para [math]\displaystyle{ x = 1 }[/math]".

• Avançando no cálculo podemos encontrar exercícios com expressões similares a esta: [math]\displaystyle{ f(x^2 + 1) = g(x) }[/math]. Façamos [math]\displaystyle{ h(x) = x^2 + 1 }[/math]. Então o que temos é isto: [math]\displaystyle{ f(h(x)) = g(x) }[/math]. Cuidado para não confundir [math]\displaystyle{ x^2 + 1 = x }[/math] da mesma forma que no caso anterior, onde sabemos que [math]\displaystyle{ 1 = 2 }[/math] não é possível. A equação [math]\displaystyle{ f(h(x)) = g(x) }[/math] tem funções em ambos os lados. Não estamos olhando para [math]\displaystyle{ h(x)= x }[/math], mas para uma igualdade entre [math]\displaystyle{ f }[/math] e [math]\displaystyle{ g }[/math].

• Suponha que temos [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math] e [math]\displaystyle{ g(x) = x^3 }[/math]. A soma é [math]\displaystyle{ f(x) + g(x) = x^2 + x^3 }[/math]. Pode acontecer das pessoas confundirem o argumento com a equação da seguinte forma: [math]\displaystyle{ f(x) + g(x) = (f + g)(x + x) }[/math]. Quem disse que a soma de funções é uma soma de argumentos? Uma transformação linear é semelhante, exceto que ambos os lados da equação tem a mesma função! Não são duas funções diferentes como no exemplo dado.

• Há um tipo de equação que não vemos em cálculo que é a equação funcional. É uma equação onde a incógnita é a própria função. Por exemplo [math]\displaystyle{ f(x^2 + 2) = x^4 + 4 }[/math]. De posse da equação dada, podemos encontrar [math]\displaystyle{ f(x) = \ ? }[/math].

Sobre argumentos, variáveis dependentes e independentes

• Cuidado com a confusão entre o argumento da função e o valor da mesma! Digamos que temos [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math]. Agora qual é a diferença entre [math]\displaystyle{ f(x + 1) = x^2 }[/math] e [math]\displaystyle{ f(x) = (x + 1)^2 \ ? }[/math] No primeiro caso temos uma função composta. Temos uma função [math]\displaystyle{ g(x) = x + 1 }[/math] e para cada [math]\displaystyle{ x }[/math] que calcularmos, primeiro calculamos o valor de [math]\displaystyle{ g(x) }[/math], depois o valor de [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] a partir do valor de [math]\displaystyle{ g(x) }[/math]. O que temos é esta expressão [math]\displaystyle{ f(g(x)) = x^2 }[/math].
  
  Já no segundo caso o que temos é uma outra função diferente da primeira. É bastante claro que [math]\displaystyle{ x^2 \neq (x + 1)^2 }[/math]. Ou seja, são duas funções diferentes. Se formos descuidados e ignorantes podemos fazer isto [math]\displaystyle{ f(x + 1) = (x + 1)^2 }[/math]. Quem disse que [math]\displaystyle{ x = x + 1 \ ?? }[/math] No exemplo anterior definimos [math]\displaystyle{ g(x) = x + 1 }[/math] e não [math]\displaystyle{ g(x) = x }[/math].
  
  Poderíamos ter [math]\displaystyle{ f(x) = g(x)^2 \ ? }[/math] Sim, por quê não? Podemos definir uma função como sendo outra elevado ao quadrado. Agora, estaremos definido uma função composta? Não. Neste caso uma função não é o argumento da outra. O que estamos fazendo é dizendo que o valor da função [math]\displaystyle{ f }[/math], em cada ponto, é o valor de [math]\displaystyle{ g }[/math] ao quadrado.

• Isto aqui [math]\displaystyle{ \overrightarrow{r}(t) = \lt x(t), \ y(t), \ z(t)\gt }[/math] não é uma função de três variáveis. É uma função vetorial. Neste caso ela associa o tempo com uma posição no espaço. Em física, o movimento 3D no espaço não é descrito por apenas uma função. Mas uma função para cada eixo, com uma variável independente para todas elas.

• [math]\displaystyle{ \frac{\sin(2x)}{2} \neq \sin \left(\frac{1}{2}2x\right) }[/math]. Às vezes as pessoas acham que podem calcelar o dois, mas não podemos fazer isto! Um erro semelhante é [math]\displaystyle{ 4 \left( \frac{1}{2} \right)^x \neq 2(1)^x }[/math]. Eu acredito que isto é causado pelo fato de que algumas funções permitem tal operação por causa da seguinte propriedade [math]\displaystyle{ cf(x) = f(cx) }[/math].

• [math]\displaystyle{ f(a,b, ..., z) }[/math]. Em álgebra linear e geometria analítica aprendemos que a ordem das coordenadas importa. Pode acontecer das pessoas trocarem a ordem das coordenadas por puro descuido. Por ex: [math]\displaystyle{ f(2,3) \neq f(3,2) }[/math]. Relacionado a isto, quando temos funções modulares de várias variáveis, nada impede de um dos casos ser assim [math]\displaystyle{ ... \text{se} \ (x,y) = (x,0) }[/math], que significa "todo par ordenado onde [math]\displaystyle{ x }[/math] é qualquer um e [math]\displaystyle{ y = 0 }[/math]".