Erros cometidos com derivadas

Sobre os conceitos

• Uma função pode ser contínua e não diferenciável ao mesmo tempo. Podemos dizer que se a função não é diferenciável num ponto isto é causado por uma divisão por zero? Não. Esta ideia aparece porque, quando aprendemos a derivada pela primeira vez, ela é relacionada com uma reta tangente. Temos este limite: [math]\displaystyle{ \lim_{h \ \to \ 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} }[/math] e [math]\displaystyle{ h \to 0 }[/math] significa que estamos reduzindo a distância entre dois pontos até próximo do zero. Estamos dividindo por zero? Não e este é um nível de abstração que temos que enfrentar quando aprendemos limites. Algumas vezes podemos, ingenuamente, acreditar que dizer que um limite não existe é o mesmo que dizer que tentamos dividir por zero.

• Uma confusão pode acontecer com as derivadas parciais. Quando dizemos "trate uma variável como uma constante", isto não deve ser interpretado como uma função constante. Há muitos exemplos na física onde temos uma função de várias variáveis e integramos em relação a uma variável, enquanto as outras são tratadas como constantes. Isto não é o mesmo que dizer que as outras variáveis não mudam de valor ou que elas sempre são uma constante. O que estamos fazendo é ignorando o valor das variáveis que não nos interessam na integração ou diferenciação. Não estamos ignorando a existência das variáveis em si.

• Um pequeno erro acontece com a notação de Leibniz. [math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}(x + 1) \neq \frac{d}{dx}(x + 1) }[/math]. O lado direito significa diferenciar [math]\displaystyle{ x + 1 }[/math]. Já o esquerdo é um produto entre [math]\displaystyle{ x + 1 }[/math] e [math]\displaystyle{ y' }[/math], uma derivada de uma função desconhecida.

• Pegue a função [math]\displaystyle{ f(x,y) = x + y }[/math] por exemplo. As derivadas parciais em relação a cada variável anulam a outra variável que não a que estamos diferenciando em relação a. Agora cada derivada parcial ainda é uma função de duas variáveis, mas uma delas é nula. Algumas pessoas podem achar que a derivada parcial é uma operação que elimina uma variável da função. Cuidado!

• A passagem entre uma variável e várias variáveis pode ser desafiadora no que diz respeito à taxas de variação. Uma taxa de variação sempre diz respeito à função ter um valor em um ponto e outro valor em outro ponto. Ou ambos os pontos tem o mesmo valor ou valores diferentes. Pode acontecer de algumas pessoas pensarem em taxas de variação onde uma variável é analisada em relação à outra. Por exemplo: pensar que [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math], uma variável é a altura e a outra é o afastamento do triângulo retângulo. Em cálculo não fazemos isto porque as variáveis são sempre independentes entre si.

• Pode acontecer de algumas pessoas confundirem os conceitos de integração, diferenciação e a função inversa. Integração e diferenciação são um a operação inversa do outro, mas isto não é a mesma coisa que achar a inversa de uma função.

Sobre a regra da cadeia

• Eu acho que um dos erros mais comuns com a regra da cadeia é derivar a função interna duas vezes, assim [math]\displaystyle{ g'(x)f'(g'(x)) }[/math]. Uma maneira de evitar esta confusão é lembrar que temos um produto de derivadas, não uma composição de derivadas. A outra causa para esta confusão é a ausência de unidades de medida. [math]\displaystyle{ g'(x) }[/math] e [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] são duas funções diferentes e se elas tem interpretações diferentes, as suas respectivas unidades não podem ser iguais. Quando uma função é usada como argumento de outra, as suas unidades devem fazer sentido, serem compatíveis com a composição.
  
  [math]\displaystyle{ v(t) }[/math] por exemplo, é velocidade que depende do tempo. Se fizermos uma composição assim [math]\displaystyle{ v(v(t)) }[/math], não fará sentido porque desde quando a velocidade depende de outra velocidade? Neste caso a função interna deveria ser algo como [math]\displaystyle{ t(x) }[/math], o tempo que depende de alguma outra coisa.
  
  Muitos livros de matemática trazem exercícios com funções compostas como [math]\displaystyle{ f(f(f(x))) }[/math] por exemplo. Algebricamente isso existe, mas não vemos este tipo de operação na física.

• [math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} \sen(x + y) \neq \cos(x) }[/math].
• [math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} \sen(x + y) \neq \cos(y) }[/math].
• [math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} \sen(x + y) \neq \cos(y + 1) }[/math].
• [math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} \sen(x + y) \neq \cos(x + 1) }[/math]. A resposta correta para esta derivada parcial é [math]\displaystyle{ \cos(x+y) }[/math]. Este erro é o mesmo que acontece com funções de uma variável, mas agora é ainda pior porque são muitas variáveis.

• [math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} \sen(x + xy) = (y + 1) \cos(x+xy) }[/math] E quanto a este? [math]\displaystyle{ y }[/math] pode ser uma constante, mas [math]\displaystyle{ xy }[/math] não é mais uma constante. Para calcularmos não podemos nos esquecer da regra da cadeia! Então x em relação a x é 1 e xy em relação a x é y. O resto é igual ao exemplo acima.

Sobre cálculos

• [math]\displaystyle{ f(x) = x^{\frac{1}{2}} }[/math] e [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x} }[/math]. Um erro muito comum é esquecer que raízes são expoentes fracionários e que expoentes negativos significam o inverso de um número ou variável. O resultado são cálculos errados de derivadas.

• [math]\displaystyle{ f(x) = x^n \implies f'(x) = nx^{n \ - \ 1} }[/math]. Um passo errado não raro aqui é fazer isto [math]\displaystyle{ f'(x) = (n - 1)x^{n \ - \ 1} }[/math]. Eu diria que dentre todos os erros na matemática, qualquer fórmula que tenha um termo [math]\displaystyle{ (n \pm 1) }[/math] é suscetível a este erro em especial. Outro erro é esquecer a constante "c" [math]\displaystyle{ f(x) = cx^n }[/math] se houver uma (é bom lembrar que sempre há uma constante 1). Mais um erro possível é que esta regra não se aplica no caso de [math]\displaystyle{ [\sen(x)]^n }[/math].

• [math]\displaystyle{ f(x) = e^x \implies f'(x) = e^x }[/math]. Às vezes memorizamos esta regra e fazemos isto: [math]\displaystyle{ f(x) = e^{2x} \not\!\!\!\implies f'(x) = e^{2x} }[/math], porque acabamos esquecendo que temos uma função composta.

• A regra de l'Hospital diz que quando temos um quociente e o limite, do numerador e do denominador, converge para infinito ou ambos para zero, podemos derivar ambas as funções antes de calcularmos o limite. Às vezes as pessoas enxergam o quociente [math]\displaystyle{ f'/g' }[/math] como se fosse para usar a regra do quociente de derivadas. A regra de l'Hospital se aplica ao cálculo de limites, não ao cálculo da derivada do quociente!

• Quando temos limites de produtos ou quocientes, calculamos o produto ou o quociente dos limites. A derivada é um limite, mas não existe uma regra dizendo que o quociente ou o produto das derivadas é a derivada do produto ou do quociente. Eu acredito que isto ocorre principalmente porque as pessoas memorizam regras sem pensar no seu significado.

• Com a definição da derivada como um limite alguém pode fazer isto: [math]\displaystyle{ f(x + h) }[/math] e a função é [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 }[/math]. Então uma substituição feita resulta em [math]\displaystyle{ h^3 }[/math], no lugar da correta que é [math]\displaystyle{ (x + h)^3 }[/math]. Eu me lembro de ter cometido este erro muitas vezes. É alguma falha mental onde vemos a variável [math]\displaystyle{ x }[/math], mas por algum motivo a ignoramos e pensamos que o incremento é a própria variável. Acontece com funções de várias variáveis também.

• Quando derivadas direcionais são calculadas algumas pessoas podem pensar [math]\displaystyle{ f(a,b) }[/math], porque pensam que [math]\displaystyle{ f(x,y) = f(a,b) }[/math]. É uma confusão entre as coordenadas do vetor e as variáveis da função.
  
  [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) }[/math] é uma derivada parcial em relação a [math]\displaystyle{ x }[/math].
  
  [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}(a,b) }[/math] é uma derivada direcional na direção de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (a,b) }[/math], que precisa que nós calculemos as derivadas parciais em relação a [math]\displaystyle{ x }[/math] e [math]\displaystyle{ y }[/math].

• A regra de l'Hospital é aplicável quando consideramos o quociente [math]\displaystyle{ f(x)/g(x) }[/math], não o produto pelo inverso da segunda. [math]\displaystyle{ \frac{\lim_{x \ \to \ 0}\sen(x)}{\lim_{x \ \to \ 0} x} }[/math] não é o mesmo que [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ 0} \sen(x) \cdot \lim_{x \ \to \ 0}\frac{1}{x} }[/math].