Erros cometidos com álgebra

Muitos dos erros cometidos em Cálculo se originam em erros de álgebra. Quase todos os livros de cálculo tem no começo uma parte dedicada às propriedades dos números reais. Não é preciso fazer todas as demonstrações. Mas é importante lê-las pelo menos uma vez porque muitos dos erros cometidos em operações com funções frequentemente se originam em erros com operações com os números reais.

Há um problema, que eu não sei a causa, nas escolas que é dar propriedades sem demonstrações. Alguns professores sabem disso e fazem as demonstrações, mas muitos outros professores não. Quando se chega em cálculo e álgebra linear as pessoas são obrigadas a encarar demonstrações e não sabem por onde começar. Foi exatamente o meu problema e o de 75% dos colegas que conheci.

Nota: Estou escrevendo mais com palavras do que com símbolos matemáticos porque é mais rápido de digitar e porque muitas pessoas não conhecem todos os símbolos.

Sobre radianos

• Radianos vs graus. Eu acredito que a maior parte da confusão é causada pelo simples fato de que radianos e graus são números. Ângulos são números. Nas funções não trigonométricas pensamos no [math]\displaystyle{ x }[/math] como uma distância a partir da origem. Graus são mais comuns porque são inteiros e mais fáceis de ler do que números irracionais. O problema é que um grau é uma medida completamente arbitrária. Um círculo pode ser dividido em quantas fatias se desejar. 10, 50, 100, não importa. [math]\displaystyle{ \sqrt{1^{\circ}} }[/math] não tem sentido por exemplo. O que um radiano faz é estabelecer a relação entre um ângulo e uma unidade fundamental, o [math]\displaystyle{ \pi }[/math] no caso. Podemos comparar o [math]\displaystyle{ \pi }[/math] com [math]\displaystyle{ \sqrt{-1} = i }[/math] no caso dos números complexos. Aí é que esta o problema. Toda calculadora ou programa de computador segue um padrão para ler o número e entendê-lo como graus ou radianos. Em aulas de cálculo numérico os professores ficam bravos porque as pessoas frequentemente esquecem deste detalhe e entram com números para fazer contas pensando que a calculadora esta lendo graus, quando na verdade o padrão mais comum é ler como radianos.

• Radianos vs. Graus vs. Arco-minuto. Em cálculo não temos este problema porque arco-minuto é uma medida usada em astronomia e navegação. Um relógio gira os ponteiros em sentido horário, enquanto o ciclo trigonométrico é anti-horário. Uma volta completa são 60 segundos, 60 minutos ou 12 horas num relógio comum. Em graus são 360°. Por definição 1° = 60 arco-minuto. Aí mora a confusão, 360° não são 60 arco-minutos e 1 arco-minuto não é o mesmo que o ângulo que os ponteiros fazem marcando 1 minuto no relógio.

Sobre exp e log

• [math]\displaystyle{ e^{2x^2} \neq (e^{2x})^2 }[/math]. Este erro é comum. Cuidado!

• [math]\displaystyle{ a^n \cdot b^m \neq (ab)^{m \ + \ n} }[/math]. Se for a mesma base, sim. Mas se forem bases diferentes, não. Vale lembrar também que [math]\displaystyle{ a^x + a^y \neq a^{x \ + \ y} }[/math].

• [math]\displaystyle{ b^n \neq b \times n }[/math]. Tenho certeza que quase todo mundo já cometeu este erro e os professores de toda parte já viram isto com frequência. Eu não sei a causa, mas a minha tese é a de que memorizamos [math]\displaystyle{ 2^2 = 2 \times 2 }[/math].

• Aprendemos que a exponencial, com números naturais, é uma operação que é uma série de multiplicações repetidas. Por exemplo [math]\displaystyle{ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 }[/math]. Qual a operação inversa? O inverso da multiplicação é a divisão, então muitas pessoas pensam em uma repetição de divisões! Eu acho que a origem do erro que acabei de citar é que todos sabemos que o log produz um número menor. Portanto, a conclusão natural é imaginar que o log, de alguma forma, envolve uma operação de divisão que diminui o número inicial para produzir outro menor.

• O próximo erro diz respeito a ler o log em si. [math]\displaystyle{ \log_b{x} = a }[/math]. É muito comum ler erroneamente como "b elevado a x é igual a a", porque é assim que escrevemos potências, escrevemos [math]\displaystyle{ b^x }[/math]. Eu me lembro de ter cometido este erro inúmeras vezes. O modo correto de ler o log é "log de x, na base b, é igual a a". Ou então "b elevado a a é igual a x" e é aí que confunde, porque ler o log como se fosse uma exponencial é contra-intuitivo.

• [math]\displaystyle{ \frac{\log_c{a}}{\log_c{b}} \neq \log_c\left({\frac{a}{b}}\right) }[/math]. A fórmula da mudança de base é um quociente de dois logs, não um log do quociente! Eu acho que uma forma de diferenciar um do outro é que quando escrevemos uma função (log é uma função) com parêntesis fica fácil de ver que [math]\displaystyle{ \frac{\log}{\log}c\frac{(a)}{(b)} }[/math] não existe.

Sobre a intuição

• [math]\displaystyle{ \sqrt{1/10} }[/math] vs. [math]\displaystyle{ (1/10)^2 }[/math]. Quando calculamos [math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math] o número sempre fica menor, exceto quando [math]\displaystyle{ 0 \lt x \lt 1 }[/math]. Isto cria alguns problemas quando analisamos limites e/ou traçamos o gráfico de funções porque podemos confundir os intervalos de crescimento e decrescimento.

Sobre identidades

• [math]\displaystyle{ \sqrt{x \pm y} \neq \sqrt{x} \pm \sqrt{y} }[/math]. A raiz da soma | diferença não é igual à soma | diferença das raízes.

• [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2 \pm y^2} \neq \sqrt{(x \pm y)^2} }[/math]. Às vezes as pessoas cancelam os quadrados com as raízes.

• [math]\displaystyle{ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 }[/math].

• [math]\displaystyle{ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 }[/math].

• [math]\displaystyle{ x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) }[/math]. Esta identidade é muito comum com limites. Cuidado para não confundi-la com as anteriores!

• [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2} = |x| }[/math]. Cuidado com esta. Frequentemente cancelamos a potência com a raiz. Mas [math]\displaystyle{ \sqrt{(-x)^2} \neq -x }[/math]. Nenhum número ao quadrado pode ser negativo. Primeiro calculamos o quadrado, depois a raiz. Com funções isto seria uma função composta, um quadrado dentro de uma raiz.

• [math]\displaystyle{ x^2 = a \iff x = \pm \sqrt{a} }[/math]. Com muita frequência esquecemos do sinal de menos e consideramos que a raiz é sempre positiva. Uma possível causa é a identidade anterior. A outra é que tanto [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] e [math]\displaystyle{ |x| }[/math] são funções pares. Não é incomum confundir "raiz de um número negativo" com "raiz negativa".

• [math]\displaystyle{ -x^2 \neq x^2 }[/math] mas [math]\displaystyle{ -x^3 = (-x)^3 }[/math]. Este errinho acontece em todo lugar.

• [math]\displaystyle{ \left( \sqrt{\frac{a}{b}} \right)^2 = \sqrt{\frac{a^2}{b^2}} }[/math]. Isto não vale se a fração for negativa.

• [math]\displaystyle{ |x^2| = |x|^2 = (-x)^2 }[/math]. Cuidado com esta propriedade! Às vezes uma pessoa pode ser levada a pensar que parêntesis e barras verticais são a mesma coisa!

Sobre inequações

• [math]\displaystyle{ 2 \gt 1 }[/math]. Agora multiplique por -1 e temos [math]\displaystyle{ -2 \lt -1 }[/math]. É muito comum as pessoas se esquecerem disto e cometerem erros em cálculo por causa disto. Quando são números é fácil ver que [math]\displaystyle{ -2 \gt -1 }[/math] esta errado. Porém, quando temos funções no lugar dos números é muito fácil se enganar e errar.

• [math]\displaystyle{ \frac{3x \ - \ 1}{x \ + \ 2} \geq 5 }[/math]. A inequação é lida como "Para quais valores de [math]\displaystyle{ x }[/math] a função apresenta valores iguais ou maiores do que 5?". Primeiro, [math]\displaystyle{ x + 2 }[/math] não pode ser zero, senão temos uma divisão por zero. Agora cuidado com a comparação! Quando temos uma igualdade, podemos multiplicar ambos os lados mantendo a igualdade. Com inequações isso não é mais verdade.
  
  Multipliquemos ambos os lados por [math]\displaystyle{ (x + 2) }[/math] e encontremos o valor de [math]\displaystyle{ x }[/math]. [math]\displaystyle{ 3x - 1 \geq 5x + 10 }[/math]. Devemos obter [math]\displaystyle{ x \geq -\frac{11}{2} }[/math]
  
  Ainda não terminou! Temos um quociente de funções. O que acontece se tanto o numerador quanto o denominador forem negativos? Para um certo intervalo de valores negativos também temos um resultado maior ou igual a 5. Então [math]\displaystyle{ (x + 2) }[/math] é negativo para qualquer [math]\displaystyle{ x \lt -2 }[/math]. [math]\displaystyle{ (3x -1) }[/math] é negativo para qualquer [math]\displaystyle{ x \lt 1/3 }[/math]. Conclusão, ambos são negativos quando [math]\displaystyle{ x \lt -2 }[/math].
  
  Agora combine ambos os resultados desta forma [math]\displaystyle{ \{x \in \mathbb{R} | -\frac{11}{2} \leq x \lt -2\} }[/math] ou x pertence a [math]\displaystyle{ [-5.5, -2[ }[/math]

Sobre vetores

• Podemos adicionar ou subtrair vetores de vetores. Mas não podemos adicionar ou subtrair pontos de pontos! [math]\displaystyle{ (x_1,y_1) \pm (x_2,y_2) }[/math] é uma operação que só faz sentido com vetores. É por isso que [math]\displaystyle{ \log(\overrightarrow{a}) }[/math], [math]\displaystyle{ \sin(\overrightarrow{a}) }[/math] e [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{a})^2 }[/math] são operações sem sentido com vetores. O que podemos fazer é [math]\displaystyle{ \overrightarrow{r} = (\log(a), \sqrt{b}) }[/math] por exemplo. A operação [math]\displaystyle{ \sqrt{\overrightarrow{r}} = (\sqrt{a}, \sqrt{b}) }[/math] não existe. O que existe é [math]\displaystyle{ \sqrt{||\overrightarrow{r}||} = \sqrt{\sqrt{a^2 + b^2}} }[/math].
  
  Adicionar ou subtrair um vetor de um ponto significa deslocar um ponto de uma posição inicial para uma outra posição.
  
  Se temos funções de duas ou três variáveis, adicionar ou subtrair uma da outra não é a mesma coisa que adicionar ou subtrair pontos dos seus respectivos domínios!

• Os professores de física gostam de chamar os vetores de flechas e vice-versa. Cuidado! Não estão errados em fazê-lo. É só uma questão de que do ponto de vista da matemática abstrata, um vetor não é uma flecha. Não tem forma definida. Aprendemos isto com álgebra linear. A flecha é só uma maneira de facilitar a visualização e de criar uma associação fácil entre movimento ou mudança com o vetor. Um vetor pode ter mais do que 3 coordenadas, mas aí não conseguimos desenhar um vetor em 4D.