Encontrando valores extremos de uma função de várias variáveis

A ideia geral é análoga ao caso de uma variável. Tanto se estivermos discutindo o domínio todo da função ou um subdomínio deste temos que usar as derivadas para analisar o comportamento da função para saber se um ponto é um máximo ou um mínimo. Para duas variáveis a ideia é a mesma que para uma variável. Num certo intervalo a função pode ser constante, crescente ou decrescente. Para três ou mais variáveis perdemos o gráfico, mas a álgebra é a mesma. Se a função for estritamente crescente ou estritamente decrescente não existe um máximo ou um mínimo a menos que seja definido um intervalo fechado.

Seja [math]\displaystyle{ P }[/math] um ponto de muitas coordenadas e [math]\displaystyle{ f }[/math] uma função de várias variáveis com domínio [math]\displaystyle{ D }[/math]. [math]\displaystyle{ P_0 \in D }[/math] é um ponto de máximo (absoluto ou global) de [math]\displaystyle{ f }[/math] se [math]\displaystyle{ f(P) \leq f(P_0) }[/math] para todo [math]\displaystyle{ P \in D }[/math]; e [math]\displaystyle{ P_0 }[/math] é um ponto de mínimo (absoluto ou global) se [math]\displaystyle{ f(P) \geq f(P_0) }[/math] para todo [math]\displaystyle{ P \in D }[/math].

Seja [math]\displaystyle{ f }[/math] uma função contínua num espaço compacto. Então [math]\displaystyle{ f }[/math] tem pelo menos um ponto de máximo e um ponto de mínimo.

A demonstração esta além do alcance para cálculo. A ideia é a mesma para funções de uma variável. Com a função sendo contínua e o conjunto de pontos no qual ela é definida sendo um espaço fechado, podemos garantir que em algum ponto daquele espaço a função tem um ponto de máximo e um ponto de mínimo. Excluindo o caso da função constante, as funções que estamos considerando não tem descontinuidades como um limite que vai para infinito.

Este teorema só garante a existência dos pontos. Ele não diz nada sobre a localização de tais pontos.

Espaço compacto: este termo vem da topologia. É um sinônimo de um conjunto fechado e limitado. Para funções de duas ou mais variáveis é o equivalente a um intervalo fechado para funções de uma variável.