Determinantes
O determinante é uma função que associa um número a uma matriz quadrada. Os usos mais frequentes do determinante são para estudar a dependência linear, encontrar autovalores e autovetores e encontrar as soluções de um sistema linear.
A forma mais comum é:
[math]\displaystyle{ \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right| = ad - bc }[/math]
E para uma matrix 3 x 3:
[math]\displaystyle{ \left| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right| = a\left| \begin{matrix} e & f \\ h & i \end{matrix} \right| - b\left| \begin{matrix} d & f \\ g & i \end{matrix} \right| + c\left| \begin{matrix} d & e \\ g & h \end{matrix} \right| }[/math]
Para uma matriz 4 x 4 e maiores o método se torna muito custoso. Uma forma de calcular determinantes de ordens maiores é escalonar a matriz. O determinante de uma matriz triangular superior, inferior ou diagonal é o produtório dos elementos da diagonal.
- [math]\displaystyle{ det(A) = det(A^T) }[/math]
- [math]\displaystyle{ det(AB) = det(A)det(B) }[/math]
- [math]\displaystyle{ det(cA) = c^n det(A) }[/math] (onde n é a ordem da matriz)
- [math]\displaystyle{ det(A + B) \ne det(A) + det(B) }[/math]
- [math]\displaystyle{ det(A) \ne 0 \iff }[/math] A é inversível
- [math]\displaystyle{ det(C) = det(A) + det(B) }[/math] (quando A, B e C são matrizes n x n que diferem apenas de uma mesma linha, sendo esta linha na matriz C uma combinação linear da mesma linha de A e B)
- [math]\displaystyle{ det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} }[/math] (note que como A é inversível det(A) ≠ 0)
