Derivadas do logaritmo e da exponencial

[math]\displaystyle{ f(x) = \ln(x) \iff f'(x) = \frac{1}{x} }[/math]

Eu vou explicar uma propriedade que é bastante simples mas muitas vezes negligenciada. Vamos escrever uma curta sequência de logaritmos na base 2:

[math]\displaystyle{ \log_2{1} = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \log_2{2} = 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \log_2{4} = 2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \log_2{8} = 3 }[/math]
[math]\displaystyle{ \log_2{16} = 4 }[/math]

A derivada pode ser definida em termos de uma tangente, uma razão altura / afastamento. Definimos a altura como [math]\displaystyle{ \log_2(x_2) - \log_2(x_1) }[/math]. Enquanto o afastamento é [math]\displaystyle{ x_2 - x_1 }[/math]. Perceba que estamos dando passos de uma unidade na altura, enquanto a entrada esta aumentando segundo uma potência de base 2. Se escrevermos a sequência acima seguindo a fórmula da derivada [math]\displaystyle{ \frac{\log_2(x_2) - \log_2(x_1)}{x_2 - x_1} }[/math], obtemos:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2^0} }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{1}{2^1} }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{1}{2^2} }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{1}{2^3} }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{1}{2^4} }[/math]

Perceba que a sequência é decrescente, o que mostra que a derivada de uma função logarítmica é uma função decrescente. Cada termo da sequência é o inverso da potência de 2 correspondente. A base não importa, todas as bases devem se comportar da mesma maneira. Eu não usei números decimais, mas se considerarmos valores intermediários entre cada passo o mesmo comportamento deverá ser observado. Não deve ser nenhuma surpresa porque a taxa de variação de uma função logarítmica decresce com o tempo, tendendo a zero no infinito.

Este raciocínio intuitivo deve explicar porque derivar um log resulta numa função que pega um número e calcula o seu inverso em cada ponto.

[math]\displaystyle{ f(x) = e^x \iff f'(x) = e^x }[/math]

Vamos ver o que acontece se aplicarmos [math]\displaystyle{ \frac{2^{x_2} - 2^{x_1}}{x_2 - x_1} }[/math] de 0 à 5:

1, 2, 4, 8, 16

O resultado é uma sequência de termos onde cada um é uma potência de 2. Ao contrário da derivada de um log que resulta numa função decrescente, a derivada de uma exponencial crescente resulta também numa função exponencial. O oposto, derivar uma exponencial decrescente resulta numa função decrescente.

Se usarmos da força bruta e calcularmos as derivadas de [math]\displaystyle{ 2^x }[/math], [math]\displaystyle{ (2.1)^x }[/math], ..., [math]\displaystyle{ (2.9)^x }[/math], [math]\displaystyle{ 3^x }[/math] in Wolfram alpha. Perceberemos que as derivadas são sempre da forma [math]\displaystyle{ \log_e{a} \cdot a^x }[/math], com [math]\displaystyle{ \log_e{a} }[/math] sendo um número próximo de 1. Quando acontece deste último termo ser exatamente 1? Quando temos [math]\displaystyle{ \log_e{e} = 1 }[/math]. Com este raciocínio concluímos que há uma certa base na qual a derivada de uma função exponencial é igual a si mesma.

Se aplicarmos o mesmo raciocínio de força bruta no Wolfram para as derivadas de [math]\displaystyle{ \log_2{x}, \log_{2.1}{x} ..., \log_{2.9}{x}, \log_3{x} }[/math] o que observamos é que são logs todos da forma [math]\displaystyle{ 1/(x\log_e{a}) }[/math]. Com este raciocínio concluímos que quando a base é [math]\displaystyle{ e }[/math], a derivada do logaritmo natural é o inverso de [math]\displaystyle{ x }[/math].

Observação: O raciocínio acima para achar as derivadas da exponencial e do logaritmo não é uma demonstração formal. Eu segui um raciocínio semelhante ao Método da Bisseção aprendido em métodos numéricos para achar raízes de uma equação. A demonstração formal da derivada da exponencial precisa do conhecimento sobre limites de somas infinitas. Já para o caso do log precisamos de muitas propriedades algébricas e substituições para chegar na sua derivada. Aplicando a diferenciação implícita e o fato da exponencial ser o inverso do [math]\displaystyle{ \ln(x) }[/math] torna a prova trivial. Mas isto funciona segundo o pressuposto de que já sabemos as suas respectivas derivadas, o que acaba caindo numa lógica circular.

Bases arbitrárias para o log e exp

Quando temos [math]\displaystyle{ f(x) = a^x }[/math] com [math]\displaystyle{ a \gt 1 }[/math], a diferenciação resulta em [math]\displaystyle{ f'(x) = a^x \ln(a) }[/math]. Só precisamos lembrar que um número pode ser expresso como um log em qualquer base, em particular temos a base [math]\displaystyle{ e }[/math]:

[math]\displaystyle{ a = e^{\ln(a)} \iff \log_e(a) = \log_e(a) }[/math]

Multiplique ambos os lados [math]\displaystyle{ 1^x }[/math]:

[math]\displaystyle{ a^x = e^{x\ln(a)} }[/math]

Agora a função é [math]\displaystyle{ f(x) = e^{x\ln(a)} }[/math], portanto:

[math]\displaystyle{ f'(x) = e^{x\ln(a)} }[/math] (caso esteja confuso, [math]\displaystyle{ \ln(a) }[/math] é uma constante porque a variável é o [math]\displaystyle{ x }[/math])

[math]\displaystyle{ f'(x) = \ln(a) e^{x\ln(a)} }[/math] (aplique a regra da cadeia para derivar [math]\displaystyle{ e^{g(x)} }[/math])

[math]\displaystyle{ f'(x) = \ln(a) \cdot a^x }[/math]

Agora para o caso de [math]\displaystyle{ f(x) = \log_a(x) }[/math] precisamos da mudança de base:

[math]\displaystyle{ \log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)} }[/math]

Como visto antes [math]\displaystyle{ \ln(a) }[/math] é uma constante:

[math]\displaystyle{ \frac{\ln(x)}{\ln(a)} = \ln(x)\frac{1}{\ln(a)} }[/math]

Com isto a derivada deve ser imediata:

[math]\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln(a)} }[/math]

Pode um log ter funções tanto na variável quanto na base? Sim, é o caso [math]\displaystyle{ f(x)^{g(x)} }[/math]. Para diferenciarmos isto precisamos do [math]\displaystyle{ \ln(x) }[/math] mais uma vez pelos mesmos motivos de antes:

[math]\displaystyle{ f(x)^{g(x)} = h(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln{\left(f(x)^{g(x)}\right)} = \ln{(h(x))} }[/math]

[math]\displaystyle{ g(x) \ln(f(x)) = \ln(h(x)) }[/math]

[math]\displaystyle{ e^{g(x) \ln(f(x))} = h(x) }[/math]

Agora para calcularmos [math]\displaystyle{ h'(x) }[/math] prosseguimos como fizemos com [math]\displaystyle{ e^{a(x)} }[/math] e aplicamos a regra da cadeia:

[math]\displaystyle{ h'(x) = [g(x) \ln(f(x))]' \cdot e^{g(x) \ln(f(x))} }[/math] (perceba que temos um produto de funções)

Caso você tenha se perdido, lembre-se como se lê um log e como se escreve uma exp a partir dele e como escrevemos o log a partir da exp

Observação: aqui temos um caso de uma variável. Não confunda com uma função de duas variáveis como é caso de [math]\displaystyle{ f(x,y) = x^y }[/math]. Eu usei [math]\displaystyle{ h(x) }[/math] justamente para evitar usar um [math]\displaystyle{ y }[/math] e daí criar uma confusão entre função de uma e várias variáveis.

Faltou um caso e é [math]\displaystyle{ \ln(g(x)) }[/math]. Com a regra da cadeia e sabendo que a derivada de [math]\displaystyle{ \ln(x) }[/math] é [math]\displaystyle{ 1/x }[/math]:

[math]\displaystyle{ [\ln(g(x))]' = g'(x)[\ln(g(x))]' }[/math]

Portanto:

[math]\displaystyle{ [\ln(g(x))]' = \frac{g'(x)}{g(x)} }[/math]

Este padrão de ter um quociente onde o numerador é a derivada do denominador é muito comum.