Classificação de sistemas linares
Em álgebra linear, como o nome já diz, não são estudados sistemas não lineares. Equações com funções trigonométricas, exponenciais, logaritmos, produtos de incógnitas, raiz e potências não são estudadas.
Os sistemas lineares são classificados em dois tipos:
Sistema linear homogêneo: todos os termos constantes são nulos. Um sistema homogêneo sempre tem solução. Exemplo
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & = & 0 \\ 2x & + & 3y & = & 0 \end{cases} }[/math]
Sistema linear não homogêneo: nem todos os termos constantes são nulos. Um sistema não homogêneo pode ter ou não solução. Exemplo
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & = & 1 \\ 2x & + & 3y & = & 0 \end{cases} }[/math]
Quanto a existência de solução, um sistema pode ter uma, infinitas ou nenhuma solução. Não existem outras possibilidades.
Uma pergunta natural: se existem sistemas com uma solução ou infinitas, não podemos ter sistemas com 10, 40 ou 1000 soluções? Afinal, entre um e infinito temos muitos e muitos números inteiros não? Pense no seguinte: geometricamente, sistemas lineares como a maioria dos que estudamos, representam intersecções de retas e/ou planos. Se a intersecção existe, um ponto é comum à mais de uma equação. Uma reta intercepta outra em apenas um ponto, afinal são retas. Se forem infinitos pontos, temos retas sobrepostas ou coincidentes. O mesmo raciocínio para intersecção de planos entre si e entre retas e planos. Agora imagine uma trajetória curva, tortuosa, tal que temos um plano e uma trajetória não linear que intercepta o mesmo plano em dez pontos. Percebeu que não estamos mais falando de uma trajetória retilínea e sim curva? Então não estamos mais no domínio dos sistemas lineares. Estamos agora num domínio de equações e sistemas não lineares que são mais complexos e não são estudados na álgebra linear.
Uma segunda pergunta: o termo constante é o que? Uma maneira fácil de explicar é recorrendo à geometria analítica. Se temos uma reta ou plano no espaço tridimensional, a constante significa que a reta ou plano está deslocada de um certo número de unidades no eixo z, da altura. É por isso que sistemas não homogêneos podem não ter solução. Pode acontecer de as equações representarem planos ou retas que estão em alturas diferentes do espaço. Para dimensões maiores do que 3 perdemos a noção de altura, mas o conceito se mantém.
Sistema possível e determinado: também chamado de sistema consistente ou compatível. Possui solução única. Exemplo
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & + & z & = & 0 \\ x & - & y & + & 3z & = & 0 \\ 2x & + & 2y & - & z & = & 0 \end{cases} }[/math]
Sistema possível e indeterminado: é um sistema consistente, mas existem infinitas soluções. Ocorre quando o número de equações é inferior ao de incógnitas, ou quando o número de equações linearmente independentes é inferior ao de incógnitas. Exemplos
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & + & 3z & = & 0 \\ 3x & - & y & & & = & 0 \end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & + & 3z & = & 0 \\ 3x & - & y & - & z & = & 0 \\ 4x & & & + & 2z & = & 0 \end{cases} }[/math]
Sistema impossível: também chamado de sistema inconsistente ou incompatível. Não possui solução. Exemplo
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x + y = 2 \\ x + y = 3 \end{cases} }[/math]
Representação matricial de um sistema linear:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & + & y & - & 2z & = & 0 \\ 3x & - & y & + & z & = & 1 \\ x & + & y & - & z & = & 2 \end{cases} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left(\begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\right) }[/math]
Os coeficientes de cada incógnita formam uma matriz com os elementos dispostos da mesma maneira que no sistema. Os termos independentes formam uma matriz coluna. As incógnitas formam outra matriz coluna. A notação usual é AX = B, onde A é a matriz dos coeficientes, X o vetor das incógnitas e B o vetor dos termos independentes.
