View source for Derivadas do logaritmo e da exponencial

<div class="definition">
<math>f(x) = \ln(x) \iff f'(x) = \frac{1}{x}</math>
</div>

Eu vou explicar uma propriedade que é bastante simples mas muitas vezes negligenciada. Vamos escrever uma curta sequência de logaritmos na base 2:

<math>\log_2{1} = 0</math><br />
<math>\log_2{2} = 1</math><br />
<math>\log_2{4} = 2</math><br />
<math>\log_2{8} = 3</math><br />
<math>\log_2{16} = 4</math><br />

A derivada pode ser definida em termos de uma '''tangente''', uma razão '''altura / afastamento'''. Definimos a altura como <math>\log_2(x_2) - \log_2(x_1)</math>. Enquanto o afastamento é <math>x_2 - x_1</math>. Perceba que estamos dando passos de uma unidade na altura, enquanto a entrada esta aumentando segundo uma potência de base 2. Se escrevermos a sequência acima seguindo a fórmula da derivada <math>\frac{\log_2(x_2) - \log_2(x_1)}{x_2 - x_1}</math>, obtemos:

<math>\frac{1}{2^0}</math>, <math>\frac{1}{2^1}</math>, <math>\frac{1}{2^2}</math>, <math>\frac{1}{2^3}</math>, <math>\frac{1}{2^4}</math>

Perceba que a sequência é decrescente, o que mostra que a derivada de uma função logarítmica é uma função decrescente. Cada termo da sequência é o inverso da potência de 2 correspondente. A base não importa, todas as bases devem se comportar da mesma maneira. Eu não usei números decimais, mas se considerarmos valores intermediários entre cada passo o mesmo comportamento deverá ser observado. Não deve ser nenhuma surpresa porque a taxa de variação de uma função logarítmica decresce com o tempo, tendendo a zero no infinito.

Este raciocínio intuitivo deve explicar porque derivar um log resulta numa função que pega um número e calcula o seu inverso em cada ponto.


<div class="definition">
<math>f(x) = e^x \iff f'(x) = e^x</math>
</div>

Vamos ver o que acontece se aplicarmos <math>\frac{2^{x_2} - 2^{x_1}}{x_2 - x_1}</math> de 0 à 5:

1, 2, 4, 8, 16

O resultado é uma sequência de termos onde cada um é uma potência de 2. Ao contrário da derivada de um log que resulta numa função decrescente, a derivada de uma exponencial crescente resulta também numa função exponencial. O oposto, derivar uma exponencial decrescente resulta numa função decrescente.

Se usarmos da força bruta e calcularmos as derivadas de <math>2^x</math>, <math>(2.1)^x</math>, ..., <math>(2.9)^x</math>, <math>3^x</math> in [http://www.wolframalpha.com  Wolfram alpha]. Perceberemos que as derivadas são sempre da forma <math>\log_e{a} \cdot a^x</math>, com <math>\log_e{a}</math> sendo um número próximo de 1. Quando acontece deste último termo ser exatamente 1? Quando temos <math>\log_e{e} = 1</math>. Com este raciocínio concluímos que há uma certa base na qual a derivada de uma função exponencial é igual a si mesma.

Se aplicarmos o mesmo raciocínio de força bruta no Wolfram para as derivadas de <math>\log_2{x}, \log_{2.1}{x} ..., \log_{2.9}{x}, \log_3{x}</math> o que observamos é que são logs todos da forma <math>1/(x\log_e{a})</math>. Com este raciocínio concluímos que quando a base é <math>e</math>, a derivada do logaritmo natural é o inverso de <math>x</math>.

'''Observação:''' O raciocínio acima para achar as derivadas da exponencial e do logaritmo não é uma demonstração formal. Eu segui um raciocínio semelhante ao '''Método da Bisseção''' aprendido em métodos numéricos para achar raízes de uma equação. A demonstração formal da derivada da exponencial precisa do conhecimento sobre limites de somas infinitas. Já para o caso do log precisamos de muitas propriedades algébricas e substituições para chegar na sua derivada. Aplicando a diferenciação implícita e o fato da exponencial ser o inverso do <math>\ln(x)</math> torna a prova trivial. Mas isto funciona segundo o pressuposto de que já sabemos as suas respectivas derivadas, o que acaba caindo numa lógica circular.

==Bases arbitrárias para o log e exp==

Quando temos <math>f(x) = a^x</math> com <math>a > 1</math>, a diferenciação resulta em <math>f'(x) = a^x \ln(a)</math>. Só precisamos lembrar que um número pode ser expresso como um log em qualquer base, em particular temos a base <math>e</math>:

<math>a = e^{\ln(a)} \iff \log_e(a) = \log_e(a)</math>

Multiplique ambos os lados <math>1^x</math>:

<math>a^x = e^{x\ln(a)}</math>

Agora a função é <math>f(x) = e^{x\ln(a)}</math>, portanto:

<math>f'(x) = e^{x\ln(a)}</math> ''(caso esteja confuso, <math>\ln(a)</math> é uma constante porque a variável é o <math>x</math>)''

<math>f'(x) = \ln(a) e^{x\ln(a)}</math> ''(aplique a regra da cadeia para derivar <math>e^{g(x)}</math>)''

<math>f'(x) = \ln(a) \cdot a^x</math>


Agora para o caso de <math>f(x) = \log_a(x)</math> precisamos da mudança de base:

<math>\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}</math>

Como visto antes <math>\ln(a)</math> é uma constante:

<math>\frac{\ln(x)}{\ln(a)} = \ln(x)\frac{1}{\ln(a)}</math>

Com isto a derivada deve ser imediata:

<math>f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln(a)}</math>


'''Pode um log ter funções tanto na variável quanto na base?''' Sim, é o caso <math>f(x)^{g(x)}</math>. Para diferenciarmos isto precisamos do <math>\ln(x)</math> mais uma vez pelos mesmos motivos de antes:

<math>f(x)^{g(x)} = h(x)</math>

<math>\ln{\left(f(x)^{g(x)}\right)} = \ln{(h(x))}</math>

<math>g(x) \ln(f(x)) = \ln(h(x))</math>

<math>e^{g(x) \ln(f(x))} = h(x)</math>

Agora para calcularmos <math>h'(x)</math> prosseguimos como fizemos com <math>e^{a(x)}</math> e aplicamos a regra da cadeia:

<math>h'(x) = [g(x) \ln(f(x))]' \cdot e^{g(x) \ln(f(x))}</math> ''(perceba que temos um produto de funções)''

Caso você tenha se perdido, lembre-se como se lê um log e como se escreve uma exp a partir dele e como escrevemos o log a partir da exp

'''Observação:''' aqui temos um caso de uma variável. Não confunda com uma função de duas variáveis como é caso de <math>f(x,y) = x^y</math>. Eu usei <math>h(x)</math> justamente para evitar usar um <math>y</math> e daí criar uma confusão entre função de uma e várias variáveis.


Faltou um caso e é <math>\ln(g(x))</math>. Com a regra da cadeia e sabendo que a derivada de <math>\ln(x)</math> é <math>1/x</math>:

<math>[\ln(g(x))]' = g'(x)[\ln(g(x))]'</math>

Portanto:

<math>[\ln(g(x))]' = \frac{g'(x)}{g(x)}</math>

Este padrão de ter um quociente onde o numerador é a derivada do denominador é muito comum.