Resolvendo equações
Qual o significado de resolver uma equação? Qual o significado de achar as raízes de uma equação? Numa interpretação geométrica, se temos dois quadrados iguais um ao outro e um deles tem uma variável controlando o seu lado ou área, resolver a equação significa encontrar o valor da variável que faz ambos os quadrados terem a mesma área ou lado. Se a equação representa uma função, pode ser o caso de achar uma distância mínima, energia máxima ou um instante de tempo em que a velocidade muda de direção.
Você sabia que algumas operações muito comuns que fazemos para resolver equações ou sistemas de equações podem ser interpretadas geometricamente? Os professores que eu tive nunca fizeram esta relação. Com frequência somos ensinados que uma equação que tenha quadrados, raízes, potências, termos trigonométricos, são não lineares e só. Só somos ensinados que sistemas ou equações não lineares são mais complicados do que os casos lineares.
Suponhamos que temos [math]\displaystyle{ a + b = c }[/math]. A interpretação mais comum para isto é que estamos somando dois números que são iguais a um terceiro. Não podemos enxergar cada lado da equação como sendo um lado de um quadrado? Quantas vezes você viu ou fez você mesmo a operação de calcular o quadrado dos dois lados? Esta operação não é nada mais do que considerar que cada lado da equação representa o lado de um quadrado. Se ambos são iguais, então as áreas dos dois quadrados também devem ser iguais. Podemos estender o raciocínio naturalmente para três ou mais dimensões. Isto explica, geometricamente, porque operações como tirar o log, o quadrado ou a raiz quadrada em ambos os lados não muda a igualdade. Pense nesta equação exponencial trivial [math]\displaystyle{ a^x = a^4 \iff x = 4 }[/math]. Se um número elevado a uma potência desconhecida é igual ao mesmo número elevado a 4. Qual é o valor da incógnita? Só pode ser 4.
[math]\displaystyle{ a^2 + b^2 = c^2 }[/math] é um caso particular e (quase) todo mundo sabe o Teorema de Pitágoras. Talvez seja por isso que as pessoas (erroneamente) assumem que a soma do log é o log da soma e o mesmo para exp e raiz quadrada.
Eu acho que há uma confusão comum que aparentemente surge de uma suposta contradição. [math]\displaystyle{ a + b = c \iff a = c - b }[/math]. Invertemos o sinal de [math]\displaystyle{ b }[/math] e trocamos de lado da esquerda para a direita na equação. Se ambos os lados da equação são iguais, não deveríamos apagar de um lado e copiar do outro o mesmo termo sem alterar o sinal? Aí esta a confusão! A operação anterior é esta na verdade: [math]\displaystyle{ a + b = c \iff a + b - b = c - b }[/math]. Eu diria que todos os professores de física, álgebra linear, métodos numéricos e cálculo já viram este erro muitas vezes. Não estamos invertendo o sinal de nada. O que estamos fazendo é uma mesma operação em ambos os lados ao mesmo tempo.
Há um ponto de vista alternativo sobre o zero. Frequentemente nos esquecemos que qualquer número menos ele mesmo é igual a zero. Portanto, podemos adicionar um número menos ele mesmo em qualquer lado da equação sem alterá-la. Da mesma forma, qualquer número não nulo divido por si mesmo é igual a um e podemos multiplicar qualquer coisa por um sem mudar a quantidade. Quase sempre pensamos nos números naturais em problemas de contagem, como 3 serem 3 objetos. Mas também podemos ver como 3 x 1, um retângulo de lados 3 e 1.
Com sistemas lineares nós frequentemente multiplicamos uma linha do sistema por uma constante. O conceito por trás disto é o vetor. Um vetor em 2D ou 3D pode ser visto como uma flecha, com 4D e além sendo impossível de desenhar. Suponha que uma equação represente uma linha. Se multiplicarmos cada coordenada do vetor por uma mesma constante não mudamos a direção do vetor. Mudamos todas as coordenadas por uma taxa constante, sem alterar a orientação do vetor. Se uma linha intercepta outra no espaço, mudar a magnitude ou norma do vetor não alterar o ponto de intersecção. O mesmo vale para qualquer número de dimensões, mesmo que não podemos mais desenhar em dimensões mais altas.
Uma analogia é pensar no princípio de conservação da massa ou na conservação da energia. Enquanto ambos os lados da equação forem iguais, não estaremos criando energia do nada nem fazendo a massa desaparecer sem deixar rastros. Um cubo pode ter o seu volume dividido em dois cubos menores. Todos aprendemos na escola que podemos subdividir uma quantidade em qualquer número de partes e a soma das partes é igual ao todo. O que não aprendemos é a demonstrar isto. Avançando na matemática e há muitos tipos de equações para as quais não sabemos se uma solução existe ou não. Aí temos um tipo de problema completamente diferente que é encontrar as soluções e sob quais condições elas existem. Ou então provar que é impossível uma solução com números inteiros para a equação.
