Regra de l'Hospital
Esta regra nos conta que se tivermos um quociente [math]\displaystyle{ f(x)/g(x) }[/math] e o limite resulta numa forma indeterminada [math]\displaystyle{ 0/0 }[/math] ou [math]\displaystyle{ \infty/\infty }[/math], então podemos seguramente assumir que o limite do quociente [math]\displaystyle{ f/g }[/math] é igual ao limite de [math]\displaystyle{ f'/g' }[/math]. Isto é, o limite do quociente das derivadas (não o limite da derivada do quociente!!!). Tudo sob a condição de que as funções sejam diferenciáveis. Se o limite de [math]\displaystyle{ f'/g' }[/math] também resultar numa forma indeterminada, podemos aplicar l'Hospital de novo. [math]\displaystyle{ 0/\infty }[/math] ou vice-versa podem aparecer mas não podemos aplicar l'Hospital nestes casos!
Alguém poderia naturalmente pensar que esta regra pode ser aplicada a qualquer limite. Não, ela não pode. Pense sobre isto: suponha que temos [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} f(x)/g(x) = n }[/math], onde [math]\displaystyle{ n \neq 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ n \neq 1 }[/math]. A partir daqui já podemos concluir uma coisa: o limite de ambas as funções não pode ser o mesmo. Caso contrário o limite seria [math]\displaystyle{ n/n = 1 }[/math]. Agora com as derivadas podemos achar pontos críticos, de máximo ou de mínimo de uma função. Estes pontos sempre coincidem com [math]\displaystyle{ f'(x) = 0 }[/math]. Eles também podem coincidir com [math]\displaystyle{ f(x) = 0 }[/math].
Caso ambas as funções estejam indo para o infinito a pergunta natural é: qual delas é mais rápida ou mais devagar? Isto naturalmente sugere analisar as suas respectivas derivadas. Esta é a ideia por trás desta regra. Analisar a rapidez de uma função em relação à outra quando ambas vão ao mesmo ponto. Eu espero que assim tenha ficado claro por que a regra de l'Hospital se aplica a um caso bem específico de limites.
Alguém poderia naturalmente pensar que podemos estender a regra para funções de várias variáveis. Não, não podemos. Não temos um equivalente à regra de l'Hospital para duas ou mais variáveis. A razão para isto reside no fato de que múltiplos caminhos levam a diferentes limites com duas ou mais variáveis. Para funções de várias variáveis não existe o conceito de uma derivada que seja desconectada da direção. Suponha que temos o quociente [math]\displaystyle{ f(x,y)/g(x,y) }[/math] e o limite leva a uma indeterminação. Não podemos considerar [math]\displaystyle{ f'(x,y)/g'(x,y) }[/math] porque, de fato pode acontecer de que o mesmo caminho leve ambas as funções a uma forma indeterminada, mas não temos uma ferramenta capaz de tratar de todos os caminhos ao mesmo tempo. Temos a derivada direcional mas mesmo aí temos um outro problema: o que fazer se uma variável varia mais rapidamente do que a outra? Pior ainda, esta última pergunta depende do próprio caminho que escolhermos.
Observação: esta regra não resolve todos os problemas. Alguns casos particulares são patológicos porque temos funções que podem ser diferenciadas infinitas vezes como o seno ou exp e trocar uma função pela sua respectiva derivada não vai simplificar nada. Tais casos pedem alguma outra técnica como a substituição de variáveis.
Demonstração da regra de l'Hospital
Antes de prosseguir, vamos estabelecer condições para a fórmula ser válida:
- [math]\displaystyle{ g'(x) \neq 0 }[/math] num intervalo aberto contento [math]\displaystyle{ a }[/math]. O limite pode ser finito e igual a zero. O que não podemos ter é a derivada em si sendo nula.
- A forma indeterminada precisa ser [math]\displaystyle{ 0/0 }[/math] ou [math]\displaystyle{ \infty/\infty }[/math]. Outras como [math]\displaystyle{ 0^0 }[/math] ou [math]\displaystyle{ 1^{\infty} }[/math] não valem.
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \ \to \ a} \frac{f'(x)}{g'(x)} }[/math] deve existir. Se o limite não existir não podemos depender da fé ou um exercício de adivinhação para tentar achá-lo.
Vamos usar o Teorema do Valor Médio de Cauchy e lembrar que a derivada é, por definição, um limite:
[math]\displaystyle{ \frac{f'(a)}{g'(a)} = \frac{\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}}{\lim_{x \to a} \frac{g(x) - g(a)}{x - a}} }[/math]
[math]\displaystyle{ = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} }[/math]
[math]\displaystyle{ = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - 0}{g(x) - 0} }[/math] (das condições para aplicar a regra sabemos que [math]\displaystyle{ f(a) = g(a) = 0 }[/math])
[math]\displaystyle{ = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} }[/math]
Com isto provamos a fórmula.
Links para a demonstração:
