Projeção ortogonal

Uma pergunta natural: se dois vetores não nulos determinam um ângulo e o produto escalar associa a dois vetores no espaço um número, qual a interpretação geométrica deste número? Observe a seguinte figura:

(a teoria a seguir esta visualizada em duas dimensões, mas o mesmo raciocínio pode ser extendido para n dimensões. A propriedade dos vetores serem ortogonais entre si tambem é válida em dimensões maiores do que 3)

Imagine o segmento [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math] como sendo o limite da sombra de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] projetada perpedicularmente sobre [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math]. A altura do triângulo retângulo ABC é um vetor ortogonal a [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math]. Podemos escrever o vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CB} }[/math] como combinaçãoa linear de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math], assim: [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CB} = \lambda \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} }[/math]. A extremidade da "sombra" de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] pode atingir [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] em qualquer ponto, daí a base do triângulo ABC ser [math]\displaystyle{ \lambda \overrightarrow{u} }[/math]. Como temos [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CB} \perp \overrightarrow{AB} }[/math], escrevemos:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} \cdot (\lambda \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) & = 0 \\ \lambda \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} & = 0 \\ \lambda = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}} & = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{u}||^2} \end{align*} }[/math]

Portanto, [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] é univocamente determinado pela condição de ortogonalidade apresentada na figura.

Notemos agora que o valor de [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] pode ser positivo ou negativo, depende apenas do sinal de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} }[/math], vejamos como isto é interpretado geometricamente:

À esquerda temos um caso onde [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] formam um ângulo agudo, temos [math]\displaystyle{ \theta \lt \frac{\pi}{2} }[/math]. Perceba que [math]\displaystyle{ \lambda \overrightarrow{u} }[/math] concorda com o sentido de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e portanto, [math]\displaystyle{ \lambda \gt 0 }[/math]

À direita temos um caso onde [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] formam um ângulo obtuso, temos [math]\displaystyle{ \theta \gt \frac{\pi}{2} }[/math]. Perceba que a "sombra" de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] "cai fora" de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e portanto, [math]\displaystyle{ \lambda \overrightarrow{v} }[/math] discorda em sentido de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math]. Temos [math]\displaystyle{ \lambda \lt 0 }[/math] para inverter o sentido de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math].

O vetor [math]\displaystyle{ \lambda \overrightarrow{u} }[/math] é denominado projeção ortogonal do vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] sobre o vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math]. Na notação matemática:

[math]\displaystyle{ proj_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v} = \lambda \overrightarrow{v} = \left(\frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{u}||^2}\right)\overrightarrow{u} }[/math]

Se [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u}|| = 1 }[/math], então [math]\displaystyle{ proj_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v} = (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})\overrightarrow{u} }[/math]. (Cuidado! Esta fórmula só vale se o vetor por sobre o qual é feita a projeção for normalizado primeiro, caso contrário vale a fórmula anterior)

A norma da projeção é dada por:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} ||proj_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}|| & = \frac{||\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}||}{||\overrightarrow{u}||^2}||\overrightarrow{u}|| \\ & = \frac{||\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}||}{||\overrightarrow{u}||} \end{align*} }[/math]

Se [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u}|| = 1 }[/math], então [math]\displaystyle{ \lambda = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} }[/math]. Portanto [math]\displaystyle{ ||proj_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}|| = ||\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|| }[/math] (Cuidado! Esta fórmula só vale se o vetor por sobre o qual é feita a projeção for normalizado primeiro, caso contrário vale a fórmula anterior)