Mudança de base

Uma questão natural: um vetor é escrito como combinação linear dos vetores de uma certa base, é natural então possamos ter um conjunto de vetores que formem uma outra base a partir da anterior. Ora, se uma base gera vetores e dentre os vetores gerados podemos escolher um conjunto que tambem seja uma base existe uma relação entre os vetores de uma base e outra. Vamos criar uma ferramenta matemática que consiga relacionar as coordenadas de um vetor entre duas bases diferentes.

Em física e em geometria analítica é muito comum mudar o sistema de referência, o que facilita na hora de descrever matematicamente um problema. É importante frisar que, dadas as coordendas de um vetor numa base e em outra, elas podem ser diferentes, mas o vetor continua o mesmo. Por isso a comparação de vetores só faz sentido quando ambos são dados com coordenadas em relação à mesma base.

São dadas as bases [math]\displaystyle{ \mathcal{B} = \{\overrightarrow{e}_x,\overrightarrow{e}_y,\overrightarrow{e}_z\} }[/math] e [math]\displaystyle{ \mathcal{F} = \{\overrightarrow{f}_x,\overrightarrow{f}_y,\overrightarrow{f}_z\} }[/math], sendo:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{f}_x = a_1\overrightarrow{e}_x + b_1\overrightarrow{e}_y + c_1\overrightarrow{e}_z \\ \overrightarrow{f}_y = a_2\overrightarrow{e}_x + b_2\overrightarrow{e}_y + c_2\overrightarrow{e}_z \\ \overrightarrow{f}_z = a_3\overrightarrow{e}_x + b_3\overrightarrow{e}_y + c_3\overrightarrow{e}_z \end{align*} }[/math]

Se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (x,y,z)_\mathcal{B} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (u,v,w)_\mathcal{F} }[/math], vamos achar a relação entre as coordenadas de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] nas duas bases.

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (u,v,w)_\mathcal{F} = u\overrightarrow{f}_x + v\overrightarrow{f}_y + w\overrightarrow{f}_z }[/math]

Mas os vetores da base [math]\displaystyle{ \mathcal{F} }[/math] tem suas coordenadas dadas em relação à base [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math]. Ora, então podemos escrever:

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (a_1\overrightarrow{e}_x + b_1\overrightarrow{e}_y + c_1\overrightarrow{e}_z)u + (a_2\overrightarrow{e}_x + b_2\overrightarrow{e}_y + c_2\overrightarrow{e}_z)v + (a_3\overrightarrow{e}_x + b_3\overrightarrow{e}_y + c_3\overrightarrow{e}_z)w }[/math]

Colocando os fatores comuns [math]\displaystyle{ \overrightarrow{e}_x }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{e}_y }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{e}_z }[/math] em evidência:

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (a_1u + a_2v + a_3w)\overrightarrow{e}_x + (b_1u + b_2v + b_3w)\overrightarrow{e}_y + (c_1u + c_2v + c_3w)\overrightarrow{e}_z }[/math]

Agora podemos igualar o vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] na base [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math] para fazer corresponder as coordenadas na base [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math] com as coordenadas na base [math]\displaystyle{ \mathcal{F} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (x,y,z)_\mathcal{B} = (a_1u + a_2v + a_3w,b_1u + b_2v + b_3w,c_1u + c_2v + c_3w) }[/math]

Donde temos o sistema:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & = & a_1u & + & a_2v & + & a_3w \\ y & = & b_1u & + & b_2v & + & b_3w \\ z & = & c_1u & + & c_2v & + & c_3w \end{cases} }[/math]

que, em forma matricial, pode ser assim escrito:

[math]\displaystyle{ \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} u \\ v \\ w \end{matrix}\right) }[/math]

Onde a matriz da esquerda representa as coordenadas de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] em relação à base [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math] e a matriz da direita representa as coordenadas de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] em relação à base [math]\displaystyle{ \mathcal{F} }[/math]. A matriz do meio é chamada de matriz de mudança de base, ou de passagem, ou de transição. Note que as colunas da matriz de mudança de base são formadas pelas coordenadas dos vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_x }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_y }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_z }[/math] na base [math]\displaystyle{ \mathcal{B} }[/math].

Numa notação mais compacta:

[math]\displaystyle{ [\overrightarrow{v}]_\mathcal{B} = [M]_{\mathcal{B}\mathcal{F}}[\overrightarrow{v}]_\mathcal{F} }[/math]

Sintetizando a teoria: Dado um vetor numa base A, se quisermos expressar o mesmo vetor numa base B basta multiplicar a matriz com as coordenadas do vetor na base A pela matriz de mudança de base de A para B. Temos tambem o problema inverso, se tivermos as coordenadas do vetor nas bases A e B podemos encontrar a matriz de mudança de base.

A teoria foi desenvolvida para o caso de três dimensões, que é como é ensinado em geometria analítica. Mas pode-se facilmente extender as mesmas matrizes para n dimensões. A parte seguinte da teoria costuma ser ensinada em álgebra linear.

Como os vetores da matriz de mudança de base são linearmente independentes o determinante não é nulo. Isso significa que a matriz é inversível, tal que:

[math]\displaystyle{ MM^{-1} = I }[/math]

Aplicando a inversa pelo lado esquerdo a ambos os lados da relação entre as matrizes anteriores:

[math]\displaystyle{ [M]_{\mathcal{B}\mathcal{F}}^{-1}[\overrightarrow{v}]_\mathcal{B} = [M]_{\mathcal{B}\mathcal{F}}^{-1}[M]_{\mathcal{B}\mathcal{F}}[\overrightarrow{v}]_\mathcal{F} = [\overrightarrow{v}]_\mathcal{F} }[/math]

Multiplicar uma matriz pela sua inversa resulta na matriz identidade e multiplicar qualquer matriz pela identidade resulta nela mesma. Se podemos transformar as coordenadas no sentido [math]\displaystyle{ \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{F} }[/math] e a matriz de mudança é inversível, então o caminho inverso tambem vale [math]\displaystyle{ \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{B} }[/math]:

[math]\displaystyle{ [\overrightarrow{v}]_\mathcal{F} = [M]_{\mathcal{F}\mathcal{B}}[\overrightarrow{v}]_\mathcal{B} }[/math]

Consequentemente:

[math]\displaystyle{ [M]_{\mathcal{F}\mathcal{B}} = [M]_{\mathcal{B}\mathcal{F}}^{-1} }[/math]

Como a matriz de mudança de base é inversível, se tivermos as coordenadas de um vetor numa base B e a matriz de mudança de A para B, o que precisamos fazer para achar o vetor na base A é inverter a matriz de mudança.