Identidades trigonométricas

Se você entendeu como ler o ciclo trigonométrico, as identidades são todas consequências diretas. Existem muitas fórmulas sobre o produto, quociente, adição e subtração de ângulos. Não precisamos de todas porque é fácil derivá-las do ciclo trigonométrico. É mais importante saber ler o ciclo trigonométrico do que memorizar fórmulas.

O raio igual a um é para facilitar as contas. Qualquer raio iria dar no mesmo porque as proporções são mantidas com círculos de qualquer raio. No eixo vertical ficam os valores para o seno, enquanto no eixo horizontal ficam os valores para o cosseno.

Aplicativos (em inglês) interativos:

• https://www.mathsisfun.com/algebra/trig-interactive-unit-circle.html
• https://www.geogebra.org/t/unit-circle
• https://www.geogebra.org/m/nv9vex3X
• https://wumbo.net/interactive/unit-circle/

Na falta de computadores é possível construir um ciclo trigonométrico interativo com papel. A peça mais importante é uma barra rígida que represente o diâmetro do círculo, que possa ser presa no centro do círculo e girada. Eu sei que alguns professores são criativos e sabem fazê-lo. Eu já tive um professor assim.

A primeira consequência do ciclo trigonométrico é que cada ângulo pode ser visto de duas formas, horário ou anti-horário. Por exemplo: 315° é o mesmo que 45° horário, o que significa -45°. Se soubermos o seno e o cosseno de 45°, então -45° é bem mais fácil de saber do que 315°.

A segunda consequência é que há simetrias interessantes. O ciclo trigonométrico mostra que [math]\displaystyle{ \cos(\theta) = \cos(-\theta) }[/math] porque qualquer ângulo entre 0° e 90° e todos os seus opostos correspondem ao mesmo valor. Veja que a base do triângulo é a mesma para os dois ângulos, o positivo e o seu par negativo. Com isto acabamos de mostrar que o cosseno é uma função par. O seno relaciona a altura do triângulo e a figura mostra que, em valores absolutos, [math]\displaystyle{ \sen(\theta) = |\sen(-\theta)| }[/math]. Com o seno a linha tracejada tem um valor positivo para ângulos positivos, mas para ângulos negativos nós estamos no lado negativo do eixo. O comprimento da linha propriamente é positivo, mas quando calculamos razões não podemos simplesmente ignorar o sinal. Assim acabamos de mostrar que o seno é uma função ímpar.

A terceira consequência é sobre reflexões. Aprendemos em física e na geometria que quando um raio de luz ou um objeto atinge uma superfície com um ângulo entre 0° e 90°, o ângulo incidente é igual ao ângulo de reflexão. Por exemplo: se o ângulo de incidência for 60°, o refletido é 180° - 60° = 120°. O ciclo trigonométrico mostra que [math]\displaystyle{ \sen(\theta) = \sen(\pi - \theta) }[/math]. Note que o triângulo do lado esquerdo é uma imagem espelhada do triângulo da direita. A altura de ambos esta marcada na faixa positiva do eixo vertical. Quanto ao cosseno temos uma situação diferente aqui. O ângulo refletido esta marcado na faixa negativa do eixo horizontal. Cosseno entre 90° e 180° resulta em números negativos. A única diferença é o sinal, porque se tomarmos o valor absoluto os valores são iguais aos seus pares do lado direito.

O raio do ciclo trigonométrico é igual a um e com isto a identidade fundamental é [math]\displaystyle{ \sen^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 }[/math] para qualquer ângulo. É o Teorema de Pitágoras e também a distância euclidiana.

Para provar a fórmula da soma e da diferença de ângulos precisamos de duas coisas: a identidade fundamental e a ideia de que todo ângulo maior do que zero pode ser dividido em duas partes. A Wikipedia e vários outros sites e livros provam a identidade para a soma de ângulos sem usar o ciclo trigonométrico. Eu vou usá-lo e há um livro que eu tenho que também faz o mesmo. Outros livros usam de álgebra pura e poucas linhas de contas, sem a ajuda de gráficos.

Começamos marcando dois pontos, Q e P. Com o ciclo trigonométricos sabemos as coordenadas de cada ponto e sabemos que a distância entre o ponto (no perímetro) e a origem é sempre igual ao raio. O ciclo trigonométrico é uma ferramenta para entender as funções trigonométricas e os ângulos, mas também serve para converter coordenadas polares para cartesianas e vice-versa.

Agora gire o triângulo mantendo o ângulo inalterado. Isto nos dá novos pontos com novas coordenadas. As áreas de ambos os triângulos, POQ e P'OQ' são iguais, bem como as distâncias entre PQ e P'Q'. Como calculamos distâncias entre dois pontos? Com Pitágoras.

[math]\displaystyle{ \sqrt{(\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sen \alpha - \sen \beta)^2} = \sqrt{[\cos(\alpha - \beta) - 1]^2 + [\sen(\alpha - \beta) - 0]^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sen \alpha - \sen \beta)^2 = [\cos(\alpha - \beta) - 1]^2 + [\sen(\alpha - \beta) - 0]^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos^2 \alpha - 2\cos \beta \cos \alpha + \cos^2 \beta + \sen^2 \alpha - 2\sen \beta \sen \alpha + \sen^2 \beta = [\cos(\alpha - \beta) - 1]^2 + [\sen(\alpha - \beta) - 0]^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos^2 \alpha - 2\cos \beta \cos \alpha + \cos^2 \beta + \sen^2 \alpha - 2\sen \beta \sen \alpha + \sen^2 \beta = \cos^2(\alpha - \beta) - 2 \cos(\alpha - \beta) + 1 + \sen^2(\alpha - \beta) }[/math]

(há uma identidade fundamental do lado esquerdo que vai cancelar com o 1 do lado direito)

[math]\displaystyle{ - 2\cos \beta \cos \alpha + \cos^2 \beta - 2\sen \beta \sen \alpha + \sen^2 \beta = \cos^2(\alpha - \beta) - 2 \cos(\alpha - \beta) + \sen^2(\alpha - \beta) }[/math]

[math]\displaystyle{ - 2\cos \beta \cos \alpha - 2\sen \beta \sen \alpha + 1 = \cos^2(\alpha - \beta) - 2 \cos(\alpha - \beta) + \sen^2(\alpha - \beta) }[/math]

(a identidade fundamental se repete do lado direito. Vamos cancelar de novo)

[math]\displaystyle{ - 2\cos \beta \cos \alpha - 2\sen \beta \sen \alpha = - 2 \cos(\alpha - \beta) }[/math] (cancelamos agora o -2 em ambos os lados e provamos que a identidade para a diferença de cossenos)

[math]\displaystyle{ \cos(\alpha - \beta) = \cos \beta \cos \alpha + \sen \beta \sen \alpha }[/math]

O mesmo raciocínio pode ser repetido para provar as demais identidades.

Referência: https://opentextbc.ca/algebratrigonometryopenstax/chapter/sum-and-difference-identities/ (em inglês)