Gráficos de funções trigonométricas

Eu estou partindo do pressuposto que você sabe ler o ciclo trigonométrico e já sabe como marcar um ponto de uma função no gráfico. Para as três funções trigonométricas básicas o eixo vertical é a razão entre os lados de um triângulo retângulo, enquanto o eixo horizontal é o ângulo em radianos. No caso das funções trigonométricas inversas temos que o Ângulo fica no eixo vertical, enquanto a razão fica no eixo horizontal.

Seno e cosseno tem a mesma aparência. A única diferença é que o seno e o cosseno diferem que [math]\displaystyle{ \sen(0) = 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ \cos(0) = 1 }[/math], enquanto [math]\displaystyle{ \sen(\pi/2) = 1 }[/math] e [math]\displaystyle{ \cos(\pi/2) = 0 }[/math]. Ao traçarmos o gráfico sem atenção ao detalhe mencionado anteriormente pode levar à confusão entre um e outro. Por consequência, as contas dão errado.

As ondas do seno e do cosseno

(o desenho foi feito à mão e não tem escala)

Por quê são ondas? Para entender você precisa entender o ciclo trigonométrico. Primeiro, os ângulos da forma como aprendemos a geometria euclidiana, são sempre uma medida entre 0° e 360°. Ou seja, entre zero até uma volta completa no círculo. Qualquer ângulo além desta faixa é apenas um múltiplo de voltas completas ou incompletas. Ângulos negativos não significam "um ângulo menor do que nada" mas apenas refletem o fato de que podemos medir ângulos no sentido inverso no ciclo trigonométrico. Assim também fica explicado porque não precisamos traçar o gráfico além de uma volta completa, porque qualquer valor além de 360° apenas repete o mesmo padrão.

Na escola é comum ensinarem primeiro como se mede um ângulo, depois a relação entre um ângulo e a razão entre os lados de um triângulo retângulo. Por último a trigonometria é combinada com a definição de uma função. Por definição, senos e cossenos levam uma medida, um ângulo, a uma razão entre os lados de um triângulo retângulo. Tanto o ângulo quanto a razão não passam de números, irracionais na maioria das vezes. A função trigonométrica é o que relaciona os dois números mencionados. Qualquer número como 1000 ou 0.3 é tratado como se fossem múltiplos de voltas completas ou incompletas no ciclo trigonométrico para fins de uma função trigonométrica. É por isto que senos e cossenos são ondas que oscilam entre 1 e -1.

Escolha um ponto em qualquer lugar do perímetro do ciclo trigonométrico. Use-o para traçar um triângulo retângulo onde o centro da circunferência é um dos vértices do triângulo. Note que quando você move o ponto escolhido no perímetro no senti horário ou anti-horário, a razão entre qualquer par de lados do triângulo sempre muda. Isto "prova" que o seno e o cosseno não são um gráfico "zig-zag", mas ondas suaves.

Observação: caso você saiba alguma coisa de métodos numéricos e tenha pensando "Posso traçar ondas com parábolas?". Sim, é possível. Mas temos um porém, uma parábola nunca é uma onda. O que fazer? Divida a onda em múltiplos segmentos, cada um sendo um segmento de parábola. Agora temos uma sequência de parábolas, metade para cima e metade para baixo. Porém, parábolas nunca se encaixam perfeitamente na curvatura do seno ou do cosseno.

Um comentário complementando o anterior. Às vezes as pessoas fazem uma associação entre as ondas do seno e do cosseno com a própria circunferência do ciclo trigonométrico. Cuidado! As ondas do seno e do cosseno não são meias-circumferências! Uma parábola pode ser deformada de tal modo que ela se transforma numa meia-circumferência. Mas para fazê-lo precisamos de alguns conceitos da geometria analítica. Eu tenho uma teoria quanto a isto. A confusão parece surgir porque o ciclo trigonométrico pode, erroneamente, ser interpretado como se fosse um gráfico de uma função. Na melhor das hipóteses uma função desenha metade de um círculo. A maioria dos livros de cálculo menciona o "teste da linha vertical" para diferenciar um gráfico de uma função de um gráfico de uma equação que não representa uma função.

A tangente

Vamos mover [math]\displaystyle{ p }[/math] para uma posição que esta associada com o ângulo de 45°. Somente com isto ganhamos dois valores "de graça", sem fazer nenhuma conta. [math]\displaystyle{ \theta^{\circ} = 45^{\circ} }[/math] porque, na geometria euclidiana, a soma de todos os ângulos internos de um triângulo sempre é igual a 180°. O outro valor que temos é [math]\displaystyle{ a = r }[/math]. Pois sabemos que temos um triângulo com dois ângulos iguais a 45°. A única conclusão possível é a de que o triângulo é isósceles. A linha que tangencia o círculo em [math]\displaystyle{ p }[/math] é única, não existe outra. Além disto, esta linha coincide com o lado [math]\displaystyle{ a }[/math]. Há ainda mais um fato sobre o triângulo na figura. A razão [math]\displaystyle{ r/a = a/r = 1 }[/math] coincide com o comprimento do lado [math]\displaystyle{ a }[/math]. Agora [math]\displaystyle{ r }[/math] é uma constante e igual a um, é muito mais fácil de calcular [math]\displaystyle{ a/1 = a }[/math] para todos os ângulos do que o inverso disto.

Agora desloque [math]\displaystyle{ p }[/math] no sentido anti-horário e perto do ângulo nulo (mas mantenha a tangente perpendicular ao raio!). O que acontece com [math]\displaystyle{ a }[/math]? O seu comprimento se aproxima de zero. Desloque [math]\displaystyle{ p }[/math] no sentido horário e próximo ao ângulo reto. O que acontece com [math]\displaystyle{ a }[/math]? O seu comprimento aumenta tanto que se chegarmos ao ângulo reto, [math]\displaystyle{ a }[/math] vai para infinito. Ou seja, a tangente de 90° não existe. Outra forma de visualizar este fato: qual é a tangente a uma superfície perfeitamente plana? Seria uma linha que é paralela ao plano (estamos tratando aqui de uma trajetória retilínea, não de uma parábola), mas neste caso ou a linha esta contida no plano ou não toca o plano em nenhum ponto. Com esta contradição contradição fica claro que a tangente de 90° não existe.

Com senos e cossenos vimos que os lados de um triângulo inscrito no ciclo trigonométrico não ultrapassam uma unidade. Porém, quando temos a tangente, o triângulo tem lados que atravessam o ciclo trigonométrico. Portanto, o gráfico não é uma onda limitada entre 1 e -1. Para ângulos próximos de 90° e 270° o gráfico se aproxima de uma reta vertical. Para ângulos próximos de 0° ou 180° o gráfico é uma curva. A tangente é uma função que associa o ângulo com o comprimento de [math]\displaystyle{ a }[/math]. Não é diferente do seno e cosseno que também associam ângulos com os lados de um triângulo retângulo.

Caso você tenha pensando, há uma outra forma de ver a relação entre ângulos e lados na tangente. Vamos ver o mesmo triângulo usado para explicar senos e cossenos e pensar na razão altura / afastamento. Para 45° é bem fácil ver que altura = afastamento. Para 0° temos que [math]\displaystyle{ \sen(0) /\cos(0) = 0 }[/math]. Para 90° temos que [math]\displaystyle{ \sen(\pi/2) = 1 }[/math] and [math]\displaystyle{ cos(\pi/2) = 0 }[/math] e não podemos dividir por zero. Em outras palavras, a tangente é uma razão seno / cosseno.