Exercícios de vetores com geometria

• Prove que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{\text{MN}} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{DC}} ) }[/math] sabendo que M e N são os pontos médios dos lados não paralelos do trapézio ABCD.

Expressando [math]\displaystyle{ \overrightarrow{\text{MN}} }[/math] como combinação linear

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{\text{MN}} = \overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BN}} \\ \overrightarrow{\text{MN}} = \overrightarrow{\text{MD}} + \overrightarrow{\text{DC}} + \overrightarrow{\text{CN}} \end{align*} }[/math]

As duas equações vetoriais representam um sistema linear (ambas as combinações lineares para [math]\displaystyle{ \overrightarrow{\text{MN}} }[/math] devem ser verdadeiras), portanto somando ambas

[math]\displaystyle{ 2 \overrightarrow{\text{MN}} = (\overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{MD}}) + (\overrightarrow{\text{BN}} + \overrightarrow{\text{CN}}) + \overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{DC}} }[/math]

Os vetores entre parêntesis são um oposto ao outro, pois sabemos que M e N dividem, respectivamente, [math]\displaystyle{ \overline{\text{AB}} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overline{\text{BC}} }[/math] ao meio. Podemos cortá-los. Ou, visualizando de outra forma, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{MD}} = \overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{DM}} = \overrightarrow{\text{MM}} }[/math] (repete-se para o outro par). Portanto

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{\text{MN}} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{DC}}) }[/math]

Exercício extra: Como garantir que o segmento expresso em função das bases é paralelo às mesmas? O fato dele ser múltiplo da soma das bases não garante o paralelismo, isso porque estamos diante de um caso de desigualdade triangular. A soma das partes pode ser maior do que o todo (caso tenhamos um triângulo) ou igual (caso os segmentos sejam paralelos entre si). Escrevendo a prova

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{\text{AB}} \parallel \overrightarrow{\text{DC}} \Rightarrow ||\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{DC}}|| = ||\overrightarrow{\text{AB}}|| + ||\overrightarrow{\text{DC}}|| }[/math]. Então existe um escalar [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] tal que [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{\text{MN}}|| = \alpha||\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{DC}}|| }[/math]. No caso, [math]\displaystyle{ \alpha = \frac{1}{2} }[/math].

• Prove que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{\text{MN}} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{\text{DC}} - \overrightarrow{\text{AB}}) }[/math] sabendo que M e N são os pontos médios das diagonais do trapézio ABCD.

Escolhendo um "caminho" que passe por [math]\displaystyle{ \overline{\text{AB}} }[/math] e outro que passe por [math]\displaystyle{ \overline{\text{DC}} }[/math] (existem muitos outros e que não passam pelas bases, mas eles não são importantes. Um sistema linear de mais do que duas equações aqui já mostra redundância, equações a mais que não ajudam a resolver o problema)

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{\text{MN}} & = \overrightarrow{\text{MD}} + \overrightarrow{\text{DC}} + \overrightarrow{\text{CN}} \\ \overrightarrow{\text{MN}} & = \overrightarrow{\text{MB}} + \overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{\text{AN}} \\ \end{align*} }[/math] Os lados não paralelos do trapézio MDCN são metade das diagonais do trapézio ABCD, então

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{\text{MN}} & = \frac{1}{2} \overrightarrow{\text{BD}} + \overrightarrow{\text{DC}} + \frac{1}{2} \overrightarrow{\text{CA}} \\ \overrightarrow{\text{MN}} & = \frac{1}{2} \overrightarrow{\text{DB}} + \overrightarrow{\text{BA}} + \frac{1}{2} \overrightarrow{\text{AC}} \\ \end{align*} }[/math] Somando ambas as equações (e cancelando os segmentos opostos)

[math]\displaystyle{ \begin{align*} 2 \overrightarrow{\text{MN}} & = \overrightarrow{\text{DC}} - \overrightarrow{\text{AB}} \\ \overrightarrow{\text{MN}} & = \frac{1}{2} (\overrightarrow{\text{DC}} - \overrightarrow{\text{AB}}) \\ \end{align*} }[/math]

A questão do paralelismo do segmento [math]\displaystyle{ \overline{\text{MN}} }[/math] é análoga ao exercício anterior, apenas troca-se o sinal de mais por menos na desigualdade triangular.

• São dados A, B, C e X como na figura, sendo [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AX} = \frac{\overrightarrow{XB}}{3} }[/math]. Exprima [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CX} }[/math] como combinação linear de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CA} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CB} }[/math].

Expressando [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CX} }[/math] como combinação linear:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{CX} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AX} \\ \overrightarrow{CX} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BX} \end{align*} }[/math]

Usando [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AX} = \frac{\overrightarrow{XB}}{3} }[/math] e invertendo [math]\displaystyle{ \overrightarrow{BX} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{CX} & = \overrightarrow{CA} + \frac{\overrightarrow{XB}}{3} \\ \overrightarrow{CX} & = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{XB} \end{align*} }[/math]

Somando as equações e expressando [math]\displaystyle{ \overrightarrow{XB} }[/math] como combinação linear de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CX} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CB} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} 2\overrightarrow{CX} & = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} - \frac{2}{3}\overrightarrow{XB} \\ 2\overrightarrow{CX} & = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} - \frac{2}{3}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CX}) \\ \frac{8}{3}\overrightarrow{CX} & = \overrightarrow{CA} + \frac{5}{3}\overrightarrow{CB} \\ \overrightarrow{CX} & = \frac{3}{8}\overrightarrow{CA} + \frac{5}{8}\overrightarrow{CB} \end{align*} }[/math]

• Num triângulo ABC, sejam M, N, P os pontos médios dos lados AB, BC e AC respectivamente. Mostre que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{BP} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0} }[/math].

Expressando [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AN} }[/math] como combinação linear de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AC} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{AN} & = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} \\ \overrightarrow{AN} & = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} \\ \\ 2\overrightarrow{AN} & = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{AN} & = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \end{align*} }[/math]

Repetindo o mesmo procedimento para [math]\displaystyle{ \overrightarrow{BP} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CM} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{BP} & = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) \\ \overrightarrow{CM} & = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) \end{align*} }[/math]

Somando as equações que representam os vetores das medianas:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{BP} + \overrightarrow{CM} & = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) \\ \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{BP} + \overrightarrow{CM} & = \overrightarrow{0} \end{align*} }[/math]

• Seja OABC um tetraedro, X um ponto da reta BC definido por [math]\displaystyle{ \overrightarrow{BX} = m\overrightarrow{BC} }[/math]. Exprima [math]\displaystyle{ \overrightarrow{OX} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AX} }[/math] em função de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{OA} }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{OB} }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{OC} }[/math], m.

A resolução segue o mesmo procedimento dos exemplos anteriores:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{OX} & = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BX} \\ \overrightarrow{OX} & = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CX} \\ \\ 2\overrightarrow{OX} & = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + m\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} + m\overrightarrow{BC} \\ 2\overrightarrow{OX} & = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + 2m\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OB} \\ 2\overrightarrow{OX} & = 2\overrightarrow{OB} + 2m(\overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OC}) \\ 2\overrightarrow{OX} & = (1 - m)2\overrightarrow{OB} + 2m\overrightarrow{OC} \\ \overrightarrow{OX} & = (1 - m)\overrightarrow{OB} + m\overrightarrow{OC} \\ \\ \overrightarrow{AX} & = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OX} \\ \overrightarrow{AX} & = -\overrightarrow{OA} + (1 - m)\overrightarrow{OB} + m\overrightarrow{OC} \end{align*} }[/math]

Este exercício ensina uma técnica importante: num exercício em três dimensões podemos subdividir o problema de expressar um vetor como combinação linear de outros visualizando planos, resolva primeiro uma combinação linear em duas dimensões e depois faça a combinação linear com a dimensão restante.

• Dado ABCD um tetraedro, seja M o ponto de encontro das medianas do triângulo ABC. Exprima [math]\displaystyle{ \overrightarrow{DM} }[/math] em função de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{DA} }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{DB} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{DC} }[/math].

O modo mais rápido de resolução é aplicando o resultado do exemplo anterior que diz que a soma dos vetores que representam as medianas de um triângulo é nula. As faces de um tetraedro são triângulos equiláteros e num trângulo equilátero as medianas tem o mesmo comprimento.

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AM} \\ \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BM} \\ \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CM} \end{align*} }[/math]

Somando as equações:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} 3\overrightarrow{DM} & = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM} \\ \overrightarrow{DM} & = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}) \end{align*} }[/math]