Exercícios de vetores

• Determine a soma dos vetores indicados na figura:

a)

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{MI} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{FG} }[/math] são opostos, portanto se anulam. Escolhendo B como origem e F como extremidade, temos que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{BH} + \overrightarrow{HE} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BF} }[/math]. Resta então que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{BL} }[/math]. Os vetores podem ser deslocados livremente pelas arestas da figura. Desde que não rotacionemos o vetor em nenhuma direção e não alteremos o seu comprimento, a posição do vetor é livre. O ponto por onde começar a soma tambem é arbitrário, não importa.

b)

Começando em A e percorrendo o hexágono no sentido anti-horário voltamos ao mesmo ponto, portanto os vetores do perímetro do hexágono se anulam. Restam os vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{OC} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{OE} }[/math], cuja soma é o vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{OD} }[/math].

c)

Perceba que o vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{FD} }[/math] pode ser decomposto em [math]\displaystyle{ \overrightarrow{FO} + \overrightarrow{OD} }[/math], enquanto [math]\displaystyle{ \overrightarrow{FB} }[/math] em [math]\displaystyle{ \overrightarrow{FO} + \overrightarrow{OB} }[/math]. Fazendo a soma dos quatro últimos vetores com [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CO} }[/math] obtemos [math]\displaystyle{ \overrightarrow{FC} }[/math].

• Resolva o sistema nas incónitas [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{y} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{cases} 2\overrightarrow{x} - 3\overrightarrow{y} = \overrightarrow{u} \\ \\ \overrightarrow{x} + 4\overrightarrow{y} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \end{cases} }[/math]

Resolver o sistema nas incógnitas [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{y} }[/math] significa expressar [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{y} }[/math] em função de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math]. Como temos quatro vetores e duas equações, dois deles serão variáveis livres.

Isolando [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} }[/math] na segunda equação:

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} - 4\overrightarrow{y} }[/math]

Substituindo na primeira:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} 2\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} - 8\overrightarrow{y} - 3\overrightarrow{y} & = \overrightarrow{u} \\ -11\overrightarrow{y} & = -\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} \\ \overrightarrow{y} & = \frac{\overrightarrow{u}}{11} + \frac{2\overrightarrow{v}}{11} \end{align*} }[/math]

Substituindo [math]\displaystyle{ \overrightarrow{y} }[/math] na segunda:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{x} + \frac{\overrightarrow{u}}{11} + \frac{8\overrightarrow{v}}{11} & = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \\ \overrightarrow{x} & = \frac{10\overrightarrow{u}}{9} + \frac{3\overrightarrow{v}}{11} \end{align*} }[/math]

Outro método de resolução é multiplicar a segunda equação por -2 e somar ambas as equações para isolar [math]\displaystyle{ \overrightarrow{y} }[/math].

Assim como fazemos com números reais podemos somar ou subtrair um mesmo vetor em ambos os lados da equação mantendo a igualdade.

Cuidado! Não divida ou multiplique ambos os lados da equação por um vetor pois esta operação não existe. O que existe é multiplicar ou dividir ambos os lados da equação pela norma de um vetor. Não escreva uma igualdade entre vetor e número pois um escalar não pode ser igual a um vetor, apenas a norma do vetor.

• Existem [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{y} }[/math] que verificam o sistema a seguir?

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} & = \overrightarrow{0} \\ \\ \overrightarrow{x} - 2\overrightarrow{y} & = \overrightarrow{u} \\ \\ \overrightarrow{x} - 5\overrightarrow{y} & = 2\overrightarrow{u} \end{cases} }[/math]

Isolando [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} }[/math] na primeira e substituindo na segunda:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} -3\overrightarrow{y} & = \overrightarrow{u} \\ \overrightarrow{y} & = -\frac{\overrightarrow{u}}{3} \end{align*} }[/math]

Substituindo na terceira:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{x} - \left(-\frac{\overrightarrow{5u}}{3}\right) & = 2\overrightarrow{u} \\ \overrightarrow{x} & = \frac{\overrightarrow{u}}{3} \end{align*} }[/math]

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{y} }[/math] verificam a primeira equação, então o sistema tem solução. Note que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] é variável livre, portanto, são infinitas soluções.

• Considere [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] dois vetores não paralelos. Determine α e β sabendo que [math]\displaystyle{ (\alpha + \beta - 2)\overrightarrow{u} + (\alpha - \beta + 1)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} }[/math]

A única forma da soma dar o vetor nulo é se os coeficientes de ambos os vetores forem nulos, daí vem o sistema:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} \alpha + \beta - 2 = 0\\ \alpha - \beta + 1 = 0 \end{cases} }[/math]

Cuja solução é [math]\displaystyle{ \alpha = \frac{1}{2} }[/math] e [math]\displaystyle{ \beta = \frac{3}{2} }[/math].

• Calcule m e n sabendo que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] não são paralelos.
• [math]\displaystyle{ (m^2 - 3)\overrightarrow{u} + (n - 1)\overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} }[/math]

Ambos os lados da equação devem ser iguais, o que significa que os coeficientes de cada vetor devem ser iguais. Portanto, temos o sistema:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} m^2 & - & 3 & = 1 \\ n & - & 1 & = -1 \end{cases} }[/math]

Cuja solução é [math]\displaystyle{ m = \pm 2 }[/math] e [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math].