Exercícios de projeção ortogonal
- Considere uma base ortonormal [math]\displaystyle{ \{\overrightarrow{e}_x,\overrightarrow{e}_y,\overrightarrow{e}_z\} }[/math]. Calcule a projeção ortogonal de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (3,-6,0) }[/math] sobre [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (2,-2,1) }[/math].
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = \frac{\overrightarrow{u}}{||\overrightarrow{u}||} \implies \overrightarrow{w} = (-\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}) }[/math]
[math]\displaystyle{ proj_{\overrightarrow{w}}\overrightarrow{v} = (\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w})\overrightarrow{w} \implies proj_{\overrightarrow{w}}\overrightarrow{v} = 6(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}) = (4,-4,2) }[/math]
Alternativamente,
[math]\displaystyle{ proj_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{u}||^2} \overrightarrow{u} \implies \frac{18}{9}(2,-2,1) = (4,-4,2) }[/math]
- Considerando os mesmos vetores do exemplo anterior, faça a decomposição de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] como soma dos vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{p} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{q} }[/math], sendo [math]\displaystyle{ \overrightarrow{p} }[/math] paralelo e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{q} }[/math] ortogonal a [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math].
A questão pede [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} }[/math]. Como já temos [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{p} }[/math] (temos que [math]\displaystyle{ proj_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v} || \overrightarrow{u} }[/math]), basta fazer:
[math]\displaystyle{ (3,-6,0) - (4,-4,2) = \overrightarrow{q} \iff \overrightarrow{q} = (-1,-2,-2) }[/math]
- Em relação a uma base ortonormal, sabe-se que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} = (2,\sqrt{3},1) }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AC} = (-1,\sqrt{3},1) }[/math]. Calcule o comprimento da altura relativa ao vértice A e a área do triângulo ABC.
A base, o lado oposto ao vértice A, do triângulo é [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} }[/math] (tanto faz a ordem): [math]\displaystyle{ (3,0,0) }[/math]
Vetor da base normalizado [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CB} = (1,0,0) }[/math]
Projeção de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} }[/math] sobre [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CB} }[/math]: [math]\displaystyle{ 2(1,0,0) = (2,0,0) }[/math]
Vetor que representa a altura do triângulo relativa ao vértice A: [math]\displaystyle{ (2,0,0) - (2,\sqrt{3},1) = (0,-\sqrt{3},-1) }[/math]
Altura pedida: [math]\displaystyle{ ||(0,-\sqrt{3},-1)|| = 2 }[/math]
Área pedida: [math]\displaystyle{ \frac{2 \cdot 3}{2} = 3 }[/math]
