Exercícios de produto escalar
- Determine [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] ortogonal a [math]\displaystyle{ (-3,0,1) }[/math] tal que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot (1,4,5) = 24 }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot (-1,1,0) = 1 }[/math].
Seja [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (x,y,z) }[/math], temos o seguinte sistema linear (o vetor procurado precisa satisfazer às três condições impostas no enunciado simultaneamente):
[math]\displaystyle{
\begin{cases}
-3x & + & 0y & + & z & = & 0 \\
x & + & 4y & + & 5z & = & 24 \\
-x & + & y & + & 0z & = & 1
\end{cases}
}[/math]
Resolvendo o sistema linear resulta [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (1,2,3) }[/math]
- Obtenha [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] ortogonal a [math]\displaystyle{ (1,1,0) }[/math] tal que [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{2} }[/math] e a medida angular em graus entre [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ (1,-1,0) }[/math] seja 45.
Seja [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (x,y,z) }[/math], temos o seguinte sistema não-linear:
usando [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u}||^2 = 2 }[/math], [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \cos 45° ||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}|| }[/math]
[math]\displaystyle{
\begin{cases}
x & + & y & + & 0z & = & 0 \\
x^2 & + & y^2 & + & z^2 & = & 2 \\
x & - & y & + & 0z & = & \sqrt{2}
\end{cases}
}[/math]
Resolvendo o sistema chega-se a [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 1) }[/math] ou [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -1) }[/math]
- Descreva o conjunto de todos os vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] ortogonais a [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (2,1,2) }[/math] tais que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (1,1,-1) }[/math] seja combinação linear de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} }[/math].
Seja [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = (x,y,z) }[/math], temos que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} = 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = \alpha \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} }[/math]. Temos então o seguinte sistema linear:
([math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] não precisa de um escalar pois é um vetor desconhecido)
[math]\displaystyle{
\begin{cases}
2x & + & y & + & 2z & = & 0 \\
2\alpha & + & x & = & 1 \\
\alpha & + & y & = & 1 \\
2\alpha & + & z & = & -1
\end{cases}
}[/math]
Resolvendo o sistema chegamos a: [math]\displaystyle{ \alpha = \frac{1}{9} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = \left(\frac{7}{9}, \frac{8}{9}, -\frac{11}{9}\right) }[/math]. O conjunto solução é formado por todos os vetores múltiplos de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = \left(\frac{7}{9}, \frac{8}{9}, -\frac{11}{9}\right) }[/math], exceto [math]\displaystyle{ \overrightarrow{0} }[/math].
- Decomponha [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (1,0,3) }[/math] como soma dos vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] tais que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math], [math]\displaystyle{ (1,1,1) }[/math] e [math]\displaystyle{ (-1,1,2) }[/math] sejam LD e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] seja ortogonal aos dois últimos.
Seja [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (x,y,z) }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = (x_1,y_1,z_1) }[/math] temos que
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} }[/math]. Mas não podemos encontrar [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] diretamente pois precisaríamos de mais duas equações. O que podemos fazer é expressar [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] em função de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math]. Assim [math]\displaystyle{ (x,y,z) = (1,0,3) - (x_1,y_1,z_1) }[/math]
[math]\displaystyle{ [\overrightarrow{v}, (1,1,1), (-1,1,2)] }[/math] é LD
[math]\displaystyle{ (x_1,y_1,z_1) \cdot (1,1,1) = 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ (x_1,y_1,z_1) \cdot (-1,1,2) = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \left| \begin{matrix} 1 - x_1 & -y_1 & 3 - z_1\\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right| = 0 \\ -x_1 + 3y_1 - 2z_1 + 7 = 0 }[/math]
Chegamos ao seguinte sistema linear:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} -x_1 & + & 3y_1 & - & 2z_1 & = -7 \\ x_1 & + & y_1 & + & z_1 & = 0 \\ -x_1 & + & y_1 & + & 2z_1 & = 0 \end{cases} }[/math]
Resolvendo o sistema chegamos a [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2},1\right) }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2},2\right) }[/math]
- Sabendo que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0} }[/math], [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u}|| = \frac{3}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{v}|| = \frac{1}{2} }[/math] e [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{w}|| = 2 }[/math], calcule [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} }[/math]
Fazendo o produto escalar por [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} }[/math] em ambos os lados da equação (se ambos os lados da equação são iguais, então fazer o produto escalar por um mesmo vetor mantem a igualdade):
[math]\displaystyle{ \begin{align*} (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) \cdot (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})& = \overrightarrow{0} \cdot (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) \\ (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) \cdot (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})& = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w} & = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w} + 2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + 2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + 2 \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}& = \overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w} & = -2 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}) \end{align*} }[/math]
Usando [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u}||^2 = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} }[/math]:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \frac{9}{4} + \frac{1}{4} + 4 & = -2 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}) \\ \frac{13}{2} & = -2 (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}) \\ -\frac{13}{4} & = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} \end{align*} }[/math]
- Sejam [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] vetores de norma 1 tais que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} = \frac{1}{2} }[/math]. Verifique se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] é combinação linear de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math].
Se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] for combinação linear de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] a terna [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}) }[/math] será LD, caso contrário será LI. Portanto escrevemos:
[math]\displaystyle{ \alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0} }[/math]
Fazendo o produto escalar por [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] em ambos os lados da equação:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{u} \cdot (\alpha \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{w}) & = \overrightarrow{0} \cdot \overrightarrow{u} \\ \alpha \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + \beta \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \gamma \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} & = \overrightarrow{0} \end{align*} }[/math]
Como foram dadas as normas e os valores dos produtos escalares entre os vetores podemos simplificar:
[math]\displaystyle{ \alpha + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = 0 }[/math]
Repetindo o procedimento anterior agora com [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] e depois com [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] encontramos mais duas equações:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \frac{\alpha}{2} + \beta + \frac{\gamma}{2} = 0 \\ \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \gamma = 0 \end{align*} }[/math]
Resolvendo o sistema linear formado pelas três últimas equações encontramos [math]\displaystyle{ \alpha = \beta = \gamma = 0 }[/math]. Portanto os vetores são LI e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] não é combinação linear de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math].
- Mostre que [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{u}||^2 + 2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align*}
||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 & = (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \\
& = \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \\
& = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} \\
& = ||\overrightarrow{u}||^2 + 2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||^2
\end{align*}
}[/math]
- Mostre que [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) = ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2 }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align*}
(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) & = \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{v} \cdot (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) \\
& = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} \\
& = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} \\
& = ||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2
\end{align*}
}[/math]
- Prove que [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{v}||\overrightarrow{u} + ||\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v} }[/math] é ortogonal a [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{v}||\overrightarrow{u} - ||\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v} }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align*}
(||\overrightarrow{v}||\overrightarrow{u} + ||\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}) \cdot (||\overrightarrow{v}||\overrightarrow{u} - ||\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}) & = ||\overrightarrow{v}||^2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - ||\overrightarrow{u}||||\overrightarrow{v}||\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||||\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} - ||\overrightarrow{u}||^2\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} \\
& = ||\overrightarrow{v}||^2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} - ||\overrightarrow{u}||^2\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} \\
& = ||\overrightarrow{v}||^2||\overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{u}||^2||\overrightarrow{v}||^2 \\
& = 0 \\
\therefore \\
& ||\overrightarrow{v}||\overrightarrow{u} + ||\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v} \perp ||\overrightarrow{v}||\overrightarrow{u} - ||\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}
\end{align*}
}[/math]
- Prove que a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos quatro lados. Em outras palavras, prove que [math]\displaystyle{ ||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 + ||\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}||^2 = 2(||\overrightarrow{u}||^2 + ||\overrightarrow{v}||^2) }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{align*}
||\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}||^2 + ||\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}||^2 & = ||\overrightarrow{u}||^2 + 2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||^2 + ||\overrightarrow{u}||^2 - 2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + ||\overrightarrow{v}||^2 \\
& = 2||\overrightarrow{u}||^2 + 2||\overrightarrow{v}||^2 \\
& = 2(||\overrightarrow{u}||^2 + ||\overrightarrow{v}||^2)
\end{align*}
}[/math]
