Exercícios de posição relativa de retas
- Estude a posição relativa das retas s e r:
- [math]\displaystyle{ r: \text{X} = (1,-1,1) + \lambda(-2,1,-1) }[/math] e [math]\displaystyle{ s: \begin{cases} & & y & + & z & = & 3 \\ x & + & y & - & z & = & 6 \end{cases} }[/math]
Resolvendo o sistema de s a solução é a equação de uma reta:
[math]\displaystyle{ (3 + 2z, 3 - z, z) = (3, 3, 0) + z(2, -1, 1) }[/math]
Os vetores diretores [math]\displaystyle{ (2,-1,1) }[/math] e [math]\displaystyle{ (-2,1,-1) }[/math] são LD, portanto, são retas paralelas. Como o ponto origem das reta r não pertence a reta s, as retas são distintas.
- [math]\displaystyle{ r: \begin{cases} x & - & y & - & z & = & 2 \\ x & + & y & - & z & = & 0 \end{cases} }[/math] e [math]\displaystyle{ s: \begin{cases} 2x & - & 3y & + & z & = & 5 \\ x & + & y & - & 2z & = & 0 \end{cases} }[/math]
Resolvendo r e fazendo a variável livre se chamar [math]\displaystyle{ t_1 }[/math]:
[math]\displaystyle{ (1 + t_1, -1, t_1) = (1, -1, 0) + t_1(1, 0, 1) }[/math]
Escrevendo r na forma paramétrica:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & = & 1 & + & t_1 \\ y & = & -1 \\ z & = & & & t_1\end{cases} }[/math]
Resolvendo s e fazendo a variável livre se chamar [math]\displaystyle{ t_2 }[/math]:
[math]\displaystyle{ \left(t_2 + 1, t_2 - 1, t_2\right) = \left(1, -1, 0\right) + t_2\left(1, 1, 1\right) }[/math]
Escrevendo s na forma paramétrica:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} x & = & 1 & + & t_2 \\ y & = & t_2 & - & 1 \\ z & = &&& t_2 \end{cases} }[/math]
Os vetores diretores de r e s são claramente LI, portanto, as retas não são paralelas. Se existe uma intersecção, ela é uma igualdade entre as coordenadas x, y e z das retas:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} 1 & + & t_1 & = & 1 & + & t_2 \\ -1 & & & = & t_2 & + & 1 \\ t_1 & & & = & t_2\end{cases} }[/math]
Encontrando os valores de [math]\displaystyle{ t_1 }[/math] e [math]\displaystyle{ t_2 }[/math] encontramos o ponto de intersecção. No caso, o ponto origem de cada reta é coincidentemente o ponto de intersecção.
- [math]\displaystyle{ r: \frac{x + 3}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{2} }[/math] e [math]\displaystyle{ s: X = (0,0,0) + \lambda(1,2,0) }[/math]
Passando r para a forma vetorial:
[math]\displaystyle{ r: \text{X} = (-3,0,-1) + \mu(2,3,2) }[/math]
Os vetores diretores de r e s são claramente LI, então as retas não são paralelas. Para verificar se existe a intersecção um modo é fazer como no exemplo anterior, igualar as coordenadas x, y e z. Outro modo é verificando a dependência linear entre os vetores diretores e o vetor que liga os pontos origem de cada reta.
[math]\displaystyle{ \left| \begin{matrix} -3 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix} \right| = 11 }[/math]
Como os vetores são LI as retas não tem ponto intersecção e são reversas.
- [math]\displaystyle{ r: \frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{4} = z }[/math] e [math]\displaystyle{ s: \begin{cases} 2x & - & y & + & 7 & = & 0 \\ x & + & y & - & 6z & = & -2 \end{cases} }[/math]
Escrevendo r na forma vetorial:
[math]\displaystyle{ r: X = (-3, 1, 0) + \lambda(2,4,1) }[/math]
Resolvendo s e chamando a variável livre de [math]\displaystyle{ \mu }[/math]:
[math]\displaystyle{ (2\mu - 3, 4\mu + 1, \mu) = (-3, 1, 0) + \mu(2,4,1) }[/math]
Como os vetores diretores e os pontos origem são iguais, as retas são coincidentes
- Sejam [math]\displaystyle{ r: \text{X} = (1,0,2) + \lambda(2,1,3) }[/math] e [math]\displaystyle{ s: \text{X} = (0,1,-1) + \lambda(1,m,2m) }[/math]. Estude, segundo os valores de m, a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado por elas.
Estudando o paralelismo:
[math]\displaystyle{ (1,0,2) - (0,1,-1) = (1,-1,3) }[/math]. Como o vetor que une os pontos origem das duas retas não é paralelo ao vetor diretor de r as retas não podem ser coincidentes qualquer que seja o valor de m.
Para que as retas sejam paralelas é preciso que os vetores diretores sejam LD, mas igualando os vetores diretores [math]\displaystyle{ (2,1,3) = (1,m,2m) }[/math] é imediato verificar que não existe valor de m para o qual os vetores sejam paralelos. Portanto só restam as retas serem reversas ou concorrentes.
Como as retas não podem ser paralelas, é suficiente que os vetores diretores e o vetor que une os pontos origem de cada reta sejam LD para haver intersecção:
[math]\displaystyle{ \left|\begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & m & 2m \end{matrix}\right| = 0 }[/math]
Calculando o determinante, [math]\displaystyle{ m = \frac{2}{3} }[/math]. Isso significa que para [math]\displaystyle{ m = \frac{2}{3} }[/math] as retas são concorrentes e para [math]\displaystyle{ m \ne \frac{2}{3} }[/math] as retas são reversas.
Escrevendo as retas na forma paramétrica (usando parâmetros diferentes para cada reta para não confundir):
[math]\displaystyle{ r: \begin{cases} x & = & 1 & + & 2 \lambda \\ y & = & & & \lambda \\ z & = & 2 & + & 3 \lambda \end{cases} \; \; \; \; \; s: \begin{cases} x & = & & + & \mu \\ y & = & 1 & + & \frac{2}{3} \mu \\ z & = & -1 & + & \frac{4}{3} \mu \end{cases} }[/math]
Igualando as coordenadas x, y e z para encontrar o ponto de intersecção: [math]\displaystyle{ \lambda = -5 }[/math] e [math]\displaystyle{ \mu = -9 }[/math]. Basta aplicar -5 na reta r ou -9 na reta s para encontrar a intersecção em [math]\displaystyle{ P = (-9,-5,-13) }[/math].
Os vetores diretores da reta e o vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{\text{XP}} = (-9 -x, -5 - y, -13 - z) }[/math] são LD, portanto:
[math]\displaystyle{ \left|\begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} \\ -9 - x & -5 - y & -13 - z \end{matrix}\right| = 0 }[/math]
Calculando o determinante resulta na equação geral do plano determinado pelas retas: [math]\displaystyle{ \frac{1}{3}(2x - y - z) = 0 }[/math] (A equação não é única, dependendo do ponto P escolhido encontra-se um múltiplo da equação)
- Dê condições sobre m e n para que as retas s e r determinem um plano:
- [math]\displaystyle{ r: \begin{cases} x & - & y & = & 1 \\ nx & - & y & - & 2z & + & m & + & 1 & = & 0\end{cases} \; \; \; \; \; s: \begin{cases} x & - & nz & + & m & + & n & = & 0 \\ x & + & y & - & 2nz & + & 11 & = & 0 \end{cases} }[/math]
Escrevendo a equação vetorial de r (y = t, m e n são variáveis livres):
[math]\displaystyle{ \left(1 + t,t,\frac{m + 1 - t + n(1 + t)}{2}\right) = \left(1,0,\frac{m + 1 + n}{2}\right) + t\left(1,1,\frac{n - 1}{2}\right) }[/math]
Escrevendo a equação vetorial de s (z = v, m e n são variáveis livres):
[math]\displaystyle{ (-m + nv - n, nv + n - 11, v) = (-m - n, n - 11, 0) + v(n, n, 1) }[/math]
Se n = -1 ou n = 2 os vetores diretores são LD, portanto, as retas são paralelas e não podem determinar um plano. Se n ≠ -1 e n ≠ 2 as retas podem ser reversas ou concorrentes, depende de m.
- A altura e a mediana relativas ao vértice B do triângulo ABC estão contidas, respectivamente, em r: [math]\displaystyle{ X = (-6,0,3) + \lambda(3,2,0) }[/math] e [math]\displaystyle{ s: X = (0,0,3) + \lambda(3,-2,0) }[/math]. Sendo [math]\displaystyle{ C = (4,-1,3) }[/math], determine A e B.
Como a mediana e a altura estão contidas em retas não coincidentes deduz-se que o triângulo não é equilátero e que os lados AB e BC não podem ser iguais. O ponto de intersecção de r e s é o ponto B. Calculando a intersecção (mudando o parâmetro de s para não confundir):
[math]\displaystyle{ \begin{cases} -6 & + & \lambda 3 & = & 3 \mu \\ & & \lambda 2 & = & -2 \mu \end{cases} }[/math]
Resolvendo o sistema temos que [math]\displaystyle{ \lambda = 1 }[/math] e [math]\displaystyle{ \mu = -1 }[/math] e [math]\displaystyle{ B = (-3,2,3) }[/math]
A reta que contem CA é perpendicular à altura, isso significa que os vetores diretores são ortogonais. Então:
[math]\displaystyle{ (4 - x, -1 - y, 3 - z) \cdot (3,2,0) = 0 \\ 12 - 3x - 2 - 2y = 0 \\ -3x - 2y + 10 = 0 }[/math]
Existem infinitos pares (x, y) que verificam a equação, por exemplo [math]\displaystyle{ (3,\frac{1}{2}) }[/math]. O vetor diretor da reta que contem AC é da forma [math]\displaystyle{ (4 - 3, -1 -\frac{1}{2}, 3 - z) = (1,-\frac{3}{2},3 - z) }[/math]. Existem infinitos vetores ortogonais ao vetor diretor de r, mas apenas para 3 - z = 0 o vetor esta no mesmo plano determinado pelas retas r e s. Portanto, um vetor diretor da reta que contem AC é [math]\displaystyle{ (1, -\frac{3}{2},0) }[/math]. A reta que passa por C e é perpendicular à altura é única:
[math]\displaystyle{ a: \text{X} = (4,-1,3) + t\left(1,-\frac{3}{2},0\right) }[/math]
Calculando a intersecção de a com s:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} 4 & + & t & = & 3 \mu \\ -1 & - & \frac{3}{2}t & = & -2 \mu \end{cases} }[/math]
Resolvendo o sistema temos [math]\displaystyle{ \mu = t = 2 }[/math] e o ponto de intersecção [math]\displaystyle{ M = (6,-4,3) }[/math].
Agora encontramos o vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CM} = (2,-3,0) }[/math]. Como o vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AM} }[/math] é equipolente com [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CM} }[/math] basta somar o ponto M ao vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{CM} }[/math] para encontrar [math]\displaystyle{ A = (8,-7,3) }[/math].
Segundo modo de resolução: Faça o produto vetorial entre os vetores diretores de r e s, isso dará o vetor diretor de uma reta perpendicular à altura e ao plano que contem o triângulo ABC. Faça novamente o produto vetorial, agora entre o vetor diretor encontrado e o vetor diretor da reta que contem a altura, isso resultará no vetor diretor da reta que passa por C. Como as coordenadas dos pontos não dependem da orientação das retas a ordem do produto vetorial não afetará os resultados.
- Seja [math]\displaystyle{ r: \text{X} = (1,1,1) + \lambda (1,1,1) }[/math] e [math]\displaystyle{ s: \text{X} = (1,2,0) + \lambda (2,3,m) }[/math]. Verifique se existe algum valor de m tal que as retas r e s sejam ortogonais ou perpendiculares.
Para que as retas sejam ortogonais ou perpendiculares os vetores diretores devem ser ortogonais:
[math]\displaystyle{ \begin{align*} (1,1,1) \cdot (2,3,m) & = 0 \\ m & = -5 \end{align*} }[/math]
Para que as retas sejam perpendiculares os vetores diretores devem ser ortogonais e deve haver intersecção:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} 1 & + & \lambda & = & 2 & + & \mu \\ 1 & + & \lambda & = & 2 & + & 2 \mu \\ 1 & + & \lambda & = & -5 \end{cases} }[/math]
Como o sistema não tem solução não existe intersecção e as retas não podem ser perpendiculares. Para que fossem precisaríamos mudar o ponto origem de uma delas.
