Exercícios de dependência linear
Os exemplos que não fazem parte do espaço tridimensional ou não são visualizados geometricamente são vistos em álgebra linear. Em geometria analítica a dependência linear é restringida às visualizações geométricas em três dimensões.
- Prove que [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{u}, \; \overrightarrow{v}) }[/math] é LI [math]\displaystyle{ \iff (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} , \; \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) }[/math] é LI.
Interpretação geométrica: desenhe um paralelogramo ou quadrado. Os lados paralelos são os vetores [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{u}, \; \overrightarrow{v}) }[/math], as diagonais são os vetores [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} , \; \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}) }[/math]. Atenção, apenas o desenho não prova nada!
Existem escalares [math]\displaystyle{ a }[/math] e [math]\displaystyle{ b }[/math] (ou use as letras gregas [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] e [math]\displaystyle{ \beta }[/math]), tais que a única solução do sistema linear é se ambos forem nulos (a passagem da propriedade distributiva foi omitida):
Portanto, [math]\displaystyle{ a = b = 0 }[/math] e os vetores são LI. O sistema pode ser resolvido tanto somando-se as equações como isolando uma das incógnitas, tanto faz. A outra forma de resolver é escrevendo a matriz dos coeficientes e calculando o determinante. Se o determinante for nulo, são LD. Senão, são LI.
Para o caso [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{u}, \; \overrightarrow{v}, \; \overrightarrow{w}) }[/math] é LI [math]\displaystyle{ \iff (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} , \; \overrightarrow{u} + \overrightarrow{w}, \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) }[/math] é LI, a resolução é análoga, apenas muda que o exercício é visualizado em três dimensões com um paralelepípedo.
- Estude a dependência linear dos vetores:
[math]\displaystyle{ (1, \; 2, \; 3), \; (4, \;, 4, \; 4), \; (-1, \; -2, \; 3) }[/math]
Escrevemos a equação vetorial
[math]\displaystyle{ a(1, \; 2, \; 3) + b(4, \;, 4, \; 4) + c(-1, \; -2, \; 3) = (0, \; 0, \; 0) }[/math]
ou, com matrizes
[math]\displaystyle{ a\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right] + b\left[ \begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 4 \\ \end{matrix} \right] + c\left[ \begin{matrix} -1 \\ -2\\ 3 \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right] \\ }[/math]
donde vem o sistema linear
[math]\displaystyle{ \begin{cases} a & + & 4b & - & c & = 0 \\ 2a & + & 4b & - & 2c & = 0 \\ 3a & + & 4b & + & 3c & = 0 \end{cases} }[/math]
A única solução é [math]\displaystyle{ a = b = c = 0 }[/math], portanto os vetores são LI. Caso a única solução não fosse esta, seriam LD.
Quando são apenas dois vetores é fácil verificar apenas comparando as coordenadas de ambos os vetores, basta notar se um é múltiplo do outro.
Observação: em geometria analítica são dados vetores em [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math], mas em álgebra linear os sistemas lineares formados podem ser maiores, dado que os espaços vetoriais são generalizados para n dimensões.
- Escreva [math]\displaystyle{ \overrightarrow{t} = (4,0,13) }[/math] como combinação linear de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (1,-1,3), \overrightarrow{v} = (2,1,3), \overrightarrow{w} = (-1,-1,4) }[/math]
Existem coordenadas a, b e c tais que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{t} }[/math] é combinação linear de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} }[/math]:
[math]\displaystyle{ a(1,-1,3) + b(2,1,3) + c(-1,-1,4) = (4,0,13) }[/math]
O que nos leva ao seguinte sistema linear: [math]\displaystyle{ \begin{cases} a & + & 2b & -c & = 4 \\ -a & + & b & -c & = 0 \\ 3a & + & 3b + &4c & = 13 \end{cases} }[/math]
Resolvendo o sistema linear encontramos a = 1, b = 2 e c = 1. Portanto [math]\displaystyle{ \overrightarrow{t} = \overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} }[/math]
- Determine o valor da coordenada desconhecida de modo que os vetores dados sejam LD.
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (m, \; 1, \; m + 1) }[/math]
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (0, \; 1, \; m) }[/math]
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = (0, \; m, \; 2m) }[/math]
Calculando o determinante da matriz
[math]\displaystyle{ \left| \begin{matrix} m & 1 & m + 1 \\ 0 & 1 & m \\ 0 & m & 2m \\ \end{matrix} \right| = m \left| \begin{matrix} 1 & m \\ m & 2m \\ \end{matrix} \right| - 1 \left| \begin{matrix} 0 & m \\ 0 & 2m \\ \end{matrix} \right| + (m + 1) \left| \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & m \\ \end{matrix} \right| \\ = 2m^2 - m^3 = m^2(2 - m) }[/math]
Raízes 0 e 2. Portanto, para [math]\displaystyle{ m = 2 }[/math] ou [math]\displaystyle{ m = 0 }[/math] os vetores são LD. Geometricamente, se [math]\displaystyle{ m = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] passa a ser nulo e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] são coplanares. Se [math]\displaystyle{ m = 2 }[/math], temos que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} \parallel \overrightarrow{w} }[/math].
Neste tipo de exercício já é dado que os vetores são uma combinação linear. Não é preciso achar escalares que multiplicam os vetores para verificar a dependência linear. A ordem dos vetores tanto faz, estamos nos aproveitando da propriedade comutativa.
O exercício não faria sentido se pedisse vetores LI, pois aí existiriam infinitas soluções e sistemas lineares indeterminados e sem uma resposta única.
- Mostre que se dois vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = (x_1, \; y_1) }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = (x_2, \; y_2) }[/math] são LD. Então o determinante da matriz
[math]\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{matrix} \right] }[/math]
é nulo.
Como os vetores são LD e são dois, então eles são paralelos e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = a \overrightarrow{v} }[/math] (tanto faz quem é múltiplo de quem), então [math]\displaystyle{ (x_1, \; y_1) = a(x_1, \; y_1) }[/math]. Daí o determinante fica (tanto faz se os vetores são as linhas ou as colunas da matriz)
[math]\displaystyle{ \left| \begin{matrix} x_1 & y_1 \\ ax_1 & ay_1 \end{matrix} \right| = x_{1}ay_1 - ax_1y_1 = a(x_1y_1 - x_1y_1) = 0 }[/math]
Estendendo esse mesmo exercício para três dimensões e três vetores, demonstramos que três vetores em três dimensões são LI se, e somente se, o determinante não for nulo. O que inclui dizer que os vetores são LD se o determinante for nulo.
- O conjunto [math]\displaystyle{ \{1, \; x, \; x^2, \; 2 + x + x^2 \} }[/math] é LI ou LD?
O modo mais fácil é vendo que [math]\displaystyle{ p_1(x) = 2 + x + x^2 }[/math], [math]\displaystyle{ p_2(x) = x^2 }[/math], [math]\displaystyle{ p_3(x) = x }[/math] e [math]\displaystyle{ p_4(x) = 1 }[/math]. Temos que [math]\displaystyle{ p_3(x) = 2p_4(x) + p_3(x) + p_2(x) }[/math] e portanto, o conjunto é LD.
Outro modo é fazendo a combinação linear de todos os vetores e verificando se existem escalares tais que a combinação linear é igual ao vetor nulo, que no caso dos polinômios é o polinômio identicamente nulo.
[math]\displaystyle{ \begin{align*} a1 + bx + cx^2 + d(2 + x + x^2) & = 0 & \iff \\ a + d2 + (d + b)x + (c + d)x^2& = 0 \end{align*} }[/math]
Donde podemos escrever o sistema linear (o polinômio identicamente nulo é feito de coeficientes nulos nos termos de todos os graus, então podemos igualar termo a termo assim como fazemos com vetores no [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math])
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \begin{cases} a & + & 2d & = & 0 \\ d & + & b & = & 0 \\ c & + & d & = & 0 \end{cases} \end{align*} }[/math]
O sistema contém menos equações do que variáveis, então é indeterminado e a solução trivial não é a única. Portanto o conjunto é LD.
Com polinômios e funções a interpretação geométrica fica difícil, não é mais possível falar em gráficos de funções paralelos assim como fazemos com segmentos orientados.
- O conjunto [math]\displaystyle{ \{\text{sen}(x), \; \cos(x) \} }[/math] é LI ou LD?
Seno e cosseno são funções que não tem zeros coincidentes e uma não é múltipla da outra. A intuição geométrica nem sempre é factível, então vamos a um argumento mais algébrico: [math]\displaystyle{ acos(x) + bsen(x) = 0 }[/math].
Para [math]\displaystyle{ x = 0, \; 1a + 0b = 0 \iff a = 0 }[/math].
Para [math]\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2}, \; a0 + 1b = 0 \iff b = 0 }[/math].
Como a = b = 0, temos um conjunto LI.
Alternativamente, [math]\displaystyle{ asen\left(\frac{\pi}{4}\right) + bcos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 }[/math], então em [math]\displaystyle{ x = \frac{\pi}{4} }[/math] teremos [math]\displaystyle{ a = -b }[/math] e apenas [math]\displaystyle{ a = b = 0 }[/math] satisfaz a equação.
Com polinômios é mais fácil verificar se um é combinação linear dos demais. Mas com funções transcendentais não há mais essa facilidade. Como a função pode assumir diferentes valores, temos que verificar a dependência linear não apenas em função de escalares que multiplicam cada uma, mas os valores da própria função tambem importam. Nos casos mais simples basta analisar os pontos onde a função tem raízes, mínimos ou máximos.
Não é necessário saber limites e derivadas ou cálculo para resolver este exercício. Mas é preciso saber os gráficos e as propriedades das funções.
- O conjunto [math]\displaystyle{ \{\text{sen}(x), \; \text{sen}(x^2) \} }[/math] é LI ou LD?
Intuitivamente é fácil notar que um não é múltiplo do outro, mas só isso não basta.
Para [math]\displaystyle{ x = 1, \; sen(1) = sen(1^2) \Rightarrow (a + b)sen(1) = 0 \Rightarrow a + b = 0 }[/math]
Para [math]\displaystyle{ x = -1, \; sen(-1) = -sen((-1)^2) \Rightarrow a sen(1) - b sin(1) = 0 \Rightarrow a - b = 0 }[/math]
Donde vem o sistema
[math]\displaystyle{ \begin{cases} a + b = 0 \\ a - b = 0 \end{cases} }[/math]
e portanto, a = b = 0 e o conjunto é LI.
Alternativamente:
Para [math]\displaystyle{ x = 0, \; sin(0) = sin(0^2) \Rightarrow a1 + b1 = 0 \Rightarrow a = -b }[/math]
O único par [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math] que satisfaz [math]\displaystyle{ a = -b }[/math] é a = 0 e b = 0. Portanto o conjunto é LI.
- O conjunto [math]\displaystyle{ \{ e^x, \; e^{2x}, \; e^{3x} \} }[/math] é LI ou LD?
O raciocínio com raízes como feito com senos e cossenos não funciona pois a exponencial não tem raiz, não tem máximos nem mínimos, apenas limites no infinito. Recorrendo aos sistemas lineares, precisamos de três equações e três valores de x (0, 1 e 2 por ex):
[math]\displaystyle{ \begin{cases} a1 & + & b1 & + & c1 & = & 0 \\ ae & + & be^2 & + & ce^3 & = & 0 \\ ae^2 & + & be^4 & + & ce^6 & = & 0 \end{cases} }[/math]
Mas temos um problema: as equações com [math]\displaystyle{ e^x }[/math] não são lineares e portanto fica mais fácil utilizarmos matrizes. Com operações elementares vamos escalonar a matriz dos coeficientes:
[math]\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ e & e^2 & e^3 \\ e^2 & e^4 & e^6 \end{matrix} \right] }[/math] Multiplicando a segunda linha por [math]\displaystyle{ \frac{1}{e} }[/math] e a terceira por [math]\displaystyle{ \frac{1}{e^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & e & e^2 \\ 1 & e^2& e^4 \end{matrix} \right] }[/math] Subtraindo a primeira da segunda e da terceira
| [math]\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & e - 1 & e^2 - 1\\ 0 & e^2 - 1 & e^4 - 1 \end{matrix} \right] }[/math] | Multiplicando a segunda por [math]\displaystyle{ \frac{1}{e - 1} }[/math] e a terceira por [math]\displaystyle{ \frac{1}{e^2 - 1} }[/math].
(identidade: [math]\displaystyle{ e^2 - 1 = (e + 1)(e - 1) }[/math]) |
[math]\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & e^2 + 1\\ 0 & 1 & e^2 + 1 \end{matrix} \right] }[/math] Subtraindo a segunda da terceira
[math]\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & e^2 + 1\\ 0 & 0 & e^2 - e \end{matrix} \right] }[/math]
Como nenhuma linha da matriz foi anulada (todos os elementos iguais a zero) no processo, o conjunto é LI. Se uma linha se anula isso significa que conseguimos uma combinação linear entre os vetores, tais que os coeficientes não são todos nulos para produzir o vetor nulo. Observe que as operações elementares com linhas das matrizes são as operações que faríamos com as equações do sistema na tentativa de resolvê-lo.
- O conjunto [math]\displaystyle{ \{e^x, \; e^{-x}\} }[/math] é LI ou LD?
Aplicar valores de x diferentes de zero neste caso não ajuda, pois aparece um termo [math]\displaystyle{ \frac{1}{e} }[/math] que torna o sistema de equações não linear. Como precisamos de duas equações para resolver para dois escalares, podemos usar a diferenciação da equação para conseguir uma segunda equação:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} ae^x + be^{-x} = 0 \\ ae^x - be^{-x} = 0 \end{cases} }[/math]
Podemos somar as equações e ficar com
[math]\displaystyle{ 2ae^x = 0 \\ }[/math]
Como [math]\displaystyle{ e^x \gt 0, \; \forall x }[/math]. Temos que [math]\displaystyle{ a = 0 }[/math].
Como [math]\displaystyle{ e^{-x} \gt 0, \; \forall x }[/math]. Temos que [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math].
Portanto, o conjunto é LI.
Observação: este exemplo e o dos senos e cossenos guarda uma semelhança. Em ambos os casos as funções compartilham um ponto onde ambas são iguais e neste ponto elas são positivas. A diferença é que senos e cossenos, quando uma se anula, temos a garantia de que a outra não se anula naquele mesmo ponto, daí podemos afirmar que o escalar tem que ser o zero. No caso da exponencial, temos a garantia de que ela é estritamente positiva.
Cuidado com uma armadilha! O fato de termos duas funções estritamente positivas não implica que os escalares são todos nulos. Poderíamos ter [math]\displaystyle{ f(x) = 2 }[/math] e [math]\displaystyle{ g(x) = 1 }[/math] e daí [math]\displaystyle{ -1(2) + 2(1) = 0 }[/math]. Este último caso ocorre justamente quando uma função é múltipla da outra, como por exemplo [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] e [math]\displaystyle{ 2x^2 }[/math].
- O conjunto [math]\displaystyle{ \{\text{sen}(x), \text{sen}(2x), \text{sen}(3x)\} }[/math] é LI ou LD?
Sabemos que para que o conjunto seja LI temos que [math]\displaystyle{ \alpha\text{sen}(x) + \beta\text{sen}(2x) + \gamma\text{sen}(3x) = 0 }[/math], onde [math]\displaystyle{ \alpha = \beta = \gamma = 0 }[/math].
Derivando a equação: [math]\displaystyle{ \alpha\cos(x) + 2\beta\cos(2x) + 3\gamma\cos(3x) = 0 }[/math]
Derivando mais duas vezes: [math]\displaystyle{ -\alpha\cos(x) - 2^3\beta\cos(2x) - 3^3\gamma\cos(3x) = 0 }[/math]
Derivando mais duas vezes: [math]\displaystyle{ \alpha\cos(x) + 2^5\beta\cos(2x) + 3^5\gamma\cos(3x) = 0 }[/math]
Para x = 0 temos que cos(x) = 1, daí vem o sistema linear homogêneo:
[math]\displaystyle{ \begin{cases} \alpha & + & 2\beta & + & 3\gamma & = & 0 \\ -\alpha & + & 2^3\beta & + & 3^3\gamma & = & 0 \\ \alpha & + & 2^5\beta & + & 3^5\gamma & = & 0 \\ \end{cases} }[/math]
A solução do sistema [math]\displaystyle{ \alpha = \beta = \gamma = 0 }[/math] mostra que o conjunto é LI.
