Exercícios de base
Verifique se [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{f}_1,\overrightarrow{f}_2,\overrightarrow{f}_3) }[/math] é base, sabendo que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_1 = \overrightarrow{e}_1 + \overrightarrow{e}_2 + \overrightarrow{e}_3 }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_2 = \overrightarrow{e}_1 + \overrightarrow{e}_2 }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_3 = \overrightarrow{e}_3 }[/math] e que [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{e}_1,\overrightarrow{e}_2,\overrightarrow{e}_3) }[/math] é base.
São dados os vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_1,\overrightarrow{f}_2,\overrightarrow{f}_3 }[/math] na base E. Não importam as coordenadas dos vetores da base E, elas não serão necessárias. As coordenadas dos vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f} }[/math] são os escalares que multiplicam os vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{e} }[/math]:
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_1 = (1,1,1) }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_2 = (1,1,0) }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{f}_3 = (0,0,1) }[/math]
Calculando o determinante:
[math]\displaystyle{ \left|\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right| }[/math]
O resultando é 0. Portanto os vetores [math]\displaystyle{ (\overrightarrow{f}_1,\overrightarrow{f}_2,\overrightarrow{f}_3) }[/math] são LD e não formam uma base.
Determine a, b e c, sabendo que [math]\displaystyle{ (1,1,2)_\text{E} = (2,1,0)_\text{F} }[/math] e que a matriz de mudança de base de F para E é
[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} -1 & 0 & a \\ 2 & 1 & b \\ 1 & 0 & c \end{matrix}\right] }[/math]
Como já foi dada a matriz de mudança de base e as coordenadas do vetor tanto na base F quanto na E basta escrever a equação na forma matricial:
[math]\displaystyle{ \left[\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} -1 & 0 & a \\ 2 & 1 & b \\ 1 & 0 & c \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}\right] }[/math]
Com a regra de multiplicação de matrizes:
[math]\displaystyle{ a = \frac{3}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ b = 1 }[/math] e [math]\displaystyle{ c = -\frac{1}{2} }[/math]
Uma pergunta natural que surge com o conceito de base: dado um ou mais vetores, eles formam uma base? É possível encontrar uma base de um espaço a partir de um ou mais vetores dados?
