Erros cometidos em demonstrações
Eu tive uma professora de álgebra linear que repetia diversas vezes "Se você escrever 0 = 0 na prova eu vou te dar um zero!". Uma das operações mais comuns é multiplicar ambos os lados da equação por um número. Porém este número não pode ser o zero porque senão estaremos assumindo que 0 = 0.
[math]\displaystyle{ a^x = a^y \iff x = y }[/math]. Suponhamos que escrevemos [math]\displaystyle{ a^x - a^y = a^y - a^y \iff x - y = y - y }[/math]. Portanto, [math]\displaystyle{ x - y = 0 \iff x = y }[/math]. Há um erro aqui que é assumir que [math]\displaystyle{ 0^0 = 0 }[/math]. Por definição não existe um número que elevado a zero dê zero. Reciprocamente, zero elevado a zero não tem valor definido. Um erro semelhante acontece se tentarmos "provar" que [math]\displaystyle{ 1 = 2 }[/math]. Para fazê-lo precisamos usar uma operação de divisão por zero.
Suponha que queremos provar que [math]\displaystyle{ a + b = c + d }[/math]. Começamos dizendo que [math]\displaystyle{ a + b = x }[/math]. Depois [math]\displaystyle{ c + d = x }[/math]. Então [math]\displaystyle{ x = x \iff a + b = c + d }[/math]. Eureka! Não provamos nada! Onde esta o erro? O erro esta em assumir que o óbvio é verdadeiro e vice-versa. Se uma afirmação é verdadeira, queremos provar que não há um caso onde ela é falsa. Senão, se a afirmação é falsa, queremos provar que não há um caso onde ela é verdadeira. É por isto que em álgebra linear e cálculo muitas propriedades são verdadeiras se impusermos algumas condições. Outras vezes precisamos de contra-exemplos para mostrar que uma propriedade é verdadeira para algumas situações, mas não todas.
Muitas provas são feitas encontrando uma contradição. Duas afirmações que não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Ambas serem falsas ou ambas verdadeiras é impossível. Uma armadilha comum aqui ocorre quando uma afirmação implica na outra. Nem sempre isto acontece. Por exemplo: [math]\displaystyle{ a^2 + b^2 = c^2 }[/math]. Sabemos que [math]\displaystyle{ a = b = c = 0 }[/math] é uma solução e que [math]\displaystyle{ c^2 \geq 0 }[/math] porque a soma de dois quadrados não pode ser negativa. Porém, não podemos usar do fato que [math]\displaystyle{ c^2 }[/math] é positivo para afirmar que há infinitas soluções para esta equação. Suponha que um certo número, sem saber qual, é dito ser par. Isto não implica em ser um número positivo ou negativo. Reciprocamente, ser positivo ou negativo não implica em ser par ou não. Para quase tudo esta lógica é inegável. Não estamos preocupados com a definição do que pode ou não ser negado. Esta discussão esta muito além do que é aprendido numa graduação.
Um exemplo geométrico do raciocínio anterior: temos os pontos A, B e C e afirmação de que as distâncias entre A e B e entre A e C são iguais. Temos duas possibilidades: ou A esta entre B e C e temos uma linha reta. Ou A não é colinear com B e C temos um triângulo equilátero. Sem mais informações não temos como saber qual caso é. Precisamos dos vetores e de mais informações para provar qual dos dois casos temos com os 3 pontos.
Com sistemas lineares de equações é muito comum as pessoas chegarem a resultados absurdos como 0 = 3 ou o óbvio 0 = 0. Quando não conseguimos encontrar variáveis que satisfaçam o sistema linear, isto significa que o sistema é insolúvel. Graficamente temos planos ou linhas que nunca se interceptam ou talvez sim, mas não todos(as) no mesmo ponto do espaço. Podem interceptar-se aos pares por exemplo. Se temos uma equação num sistema que é múltiplo de outra, podemos removê-la sem prejuízo porque ela não ajuda em nada. É a mesma coisa que ter um sistema de coordenadas com três vetores linearmente independentes no espaço tridimensional. Se tentarmos construir um sistema em 4D onde a quarta coordenada é linearmente dependente das demais, não vai dar certo. Quando temos uma equação, isolar uma variável e substituir na própria equação é o mesmo que assumir que 0 = 0. Em outras palavras, estaremos afirmando que um vetor é paralelo a si próprio ou que uma linha intercepta a si mesma em todos os seus pontos.
