Equação do plano

Equação do plano na forma vetorial

Se um vetor determina uma reta, dois vetores LI determinam um plano. A equação do plano na forma vetorial é análoga a da reta acrescida de mais um vetor diretor:

[math]\displaystyle{ \pi: X = A + \lambda \overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v} }[/math]

Se dois pontos determinam uma reta, três pontos não colineares determinam um plano. Dados os pontos A, B e C que formam um triângulo, os vetores diretores são B - A e C - A (qualquer par serve, o que muda é a orientação dos vetores diretores), de modo que a equação vetorial do plano fica:

[math]\displaystyle{ \pi: \text{X} = \text{A} + \lambda (\text{B} - \text{A}) + \mu (\text{C} - \text{A}) }[/math]

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Equação do plano na forma paramétrica

A obtenção da equação paramétrica do plano é análoga à da reta (temos as coordenadas do ponto origem e dos vetores diretores dadas em relação a um sistema de referência adotado):

[math]\displaystyle{ (x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + \lambda(a_1,b_1,c_1) + \mu (a_2,b_2,c_2) }[/math]

[math]\displaystyle{ \pi: \begin{cases} x & = & x_0 & + & \lambda a_1 & + & \mu a_2 \\ y & = & y_0 & + & \lambda b_1 & + & \mu b_2 \\ z & = & z_0 & + & \lambda c_1 & + & \mu c_2 \\ \end{cases} }[/math]

As coordenadas x, y e z de um ponto do plano ficam dadas em função dos parâmetros [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] e [math]\displaystyle{ \mu }[/math].

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Equação do plano na forma geral

Seja um ponto X qualquer e A a origem do plano, se o vetor X - A for contido no plano, então X pertence ao plano. Em outras palavras, se o vetor X - A for linearmente dependente com os vetores diretores, o ponto X pertence ao plano. Isso se traduz num determinante (temos as coordenadas dos vetores dadas em relação a um sistema de referência adotado):

[math]\displaystyle{ \left|\begin{matrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{matrix}\right| = (x - x_0) \left|\begin{matrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{matrix}\right| - (y - y_0) \left|\begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix}\right| + (z - z_0) \left|\begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix}\right| }[/math]

Fazendo a substituição dos determinantes menores por a, b e c:

[math]\displaystyle{ \left|\begin{matrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{matrix}\right| = a \; \; \; \; \; -\left|\begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix}\right| = b \; \; \; \; \; \left|\begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix}\right| = c }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align*} a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) & = 0 \\ ax - ax_0 + by -by_0 + cz - cz_0 & = 0 \\ -ax_0 - by_0 - cz_0 & = -ax - by - cz\\ \end{align*} }[/math]

Fazendo uma substituição -ax - by - cz = d:

[math]\displaystyle{ ax_0 + by_0 + cz_0 + d = 0 }[/math]

Obtemos a equação geral do plano [math]\displaystyle{ \pi }[/math].

Uma segunda maneira de chegar na mesma equação: seja [math]\displaystyle{ A = (x_0,y_0,z_0) }[/math] um ponto pertencente ao plano [math]\displaystyle{ \pi }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{n} = (a,b,c) }[/math] um vetor não nulo normal (ortogonal) ao plano. O plano [math]\displaystyle{ \pi }[/math] pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos [math]\displaystyle{ P = (x,y,z) }[/math] do espaço tais que o vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AP} }[/math] é ortogonal a [math]\displaystyle{ \overrightarrow{n} }[/math]. O ponto P pertence a [math]\displaystyle{ \pi }[/math] se, e somente se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AP} = 0 }[/math]. Então, desenvolvendo:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} (a,b,c) \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) & = 0 \\ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) & = 0 \\ ax - ax_0 + by -by_0 + cz - cz_0 & = 0 \\ \end{align*} }[/math]

Fazendo uma substituição -ax - by - cz = d:

[math]\displaystyle{ ax_0 + by_0 + cz_0 + d = 0 }[/math]

Note que a forma geral da equação do plano traz nos coeficientes a, b e c as coordenadas de um vetor ortogonal ao plano. Note tambem que abc ≠ 0.

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Equação da reta na forma planar

Dois planos não paralelos entre si se interceptam ao longo de uma reta. Isso significa que podemos definir a equação de uma reta a partir das equações de dois planos, desde que os vetores normais não sejam LD:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} a_1x & + & b_1y & + & c_1z & + & d_1 & = & 0 \\ a_2x & + & b_2y & + & c_2z & + & d_2 & = & 0 \end{cases} }[/math]

Note que temos um sistema linear de duas equações e três incógnitas, o que significa que teremos uma variável livre, justamente a que será o parâmetro da equação da reta.

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Assim como uma reta pode existir em dimensões maiores do que três, o mesmo acontece com o plano. Um ponto com n coordenadas e dois vetores não paralelos com n coordenadas cada determinam um "plano" em n dimensões. Mas a intuição falha para dimensões maiores do que três e não podemos mais ver a intersecção de dois planos como uma reta como acontece em três dimensões. A equação do plano na forma geral pode ser generalizada para n dimensões e continua tendo um vetor normal ao plano, mas não podemos mais fazer o uso do produto vetorial pois este não esta definido em n dimensões.