Distância entre pontos

No plano

A demonstração da fórmula segue o Teorema de Pitágoras. Dados dois pontos [math]\displaystyle{ \text{P}_1 = (x_1, y_1) }[/math] e [math]\displaystyle{ \text{P}_2 = (x_2, y_2) }[/math], façamos a projeção ortogonal dos pontos sobre os eixos x e y. Na intersecção das projeções de [math]\displaystyle{ \text{P}_2 }[/math] sobre x e [math]\displaystyle{ \text{P}_1 }[/math] sobre y obtemos um terceiro ponto, [math]\displaystyle{ \text{P}_3 }[/math]. Com o triângulo [math]\displaystyle{ \text{P}_1\text{P}_3\text{P}_2 }[/math] retângulo podemos escrever:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} d(\text{P}_1, \text{P}_2)^2 & = d(\text{P}_1, \text{P}_3)^2 + d(\text{P}_3, \text{P}_2)^2 & \iff \\ |x_2 - x_1|^2 & = |x_2 - x_1|^2 + |y_2 - y_1|^2 & \iff \\ d & = \sqrt{|x_2 - x_1|^2 + |y_2 - y_1|^2} & \iff \\ d & = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \end{align*} }[/math]

Uma maneira alternativa de visualizar, considerando que [math]\displaystyle{ |x| = \sqrt{x^2} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} \sqrt{|x_2 - x_1|^2}^2 + \sqrt{|y_2 - y_1|^2}^2 = & \text{ } d^2 \iff \\ \sqrt{|x_2 - x_1|^2 + |y_2 - y_1|^2} = & \text{ } d \end{align*} }[/math]

---

No espaço

No espaço tridimensional a demonstração adiciona apenas mais um passo. A base do triângulo [math]\displaystyle{ \text{P}_2\text{O}\text{P}_3 }[/math] é a hipotenusa do triângulo [math]\displaystyle{ \text{P}_1\text{O}\text{P}_2 }[/math].

[math]\displaystyle{ \begin{align*} d = & \sqrt{d(\text{O}, \text{P}_3)^2 + d(\text{P}_2, \text{P}_3)^2} & \iff \\ d = & \sqrt{ \left( \sqrt{(x_2 - x_0)^2 + (z_2 - z_0)^2} \right) ^2 + (y_2 - y_1)^2} & \iff \\ d = & \sqrt{(x_2 - x_0)^2 + (z_2 - z_0)^2 + (y_2 - y_1)^2} \end{align*} }[/math]

Dimensões maiores: a generalização para n dimensões segue o mesmo procedimento, a cada eixo adicionado extra forma-se um novo triângulo retângulo e aplica-se novamente o Teorema de Pitágoras. Por razões óbvias não é mais possível visualizar geometricamente. A intuição passa a falhar com quatro ou mais dimensões, a noção de distância não obedece mais à noção de "perto" e "longe". Para além das três dimensões espaciais fica melhor utilizar o conceito de vetor e de norma de um vetor.

[math]\displaystyle{ d = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2 + \dots + (p_n - q_n)^2} }[/math]

Como não existem letras suficientes no alfabeto para cobrir n dimensões, a notação adota um par de letras para indicar os dois pontos e varia-se o índice para indicar primeiro eixo, segundo eixo e assim por diante até o enésimo eixo.

---

Uma aplicação do Teorema de Pitágoras e da distância entre dois pontos

Dados os pontos [math]\displaystyle{ \text{P}_1 = (x_1, y_1) }[/math] e [math]\displaystyle{ \text{P}_2 = (x_2, y_2) }[/math] no plano, mais a origem do sistema de coordenadas, o triângulo [math]\displaystyle{ \text{P}_1\text{O}\text{P}_2 }[/math] é retângulo? Em outras palavras, os segmentos [math]\displaystyle{ \overline{\text{P}_1\text{O}} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overline{\text{P}_2\text{O}} }[/math] estão contidos em retas perpendiculares?

Dados os pontos [math]\displaystyle{ \text{P}_1 }[/math], [math]\displaystyle{ \text{P}_2 }[/math] e [math]\displaystyle{ \text{O} }[/math], os catetos [math]\displaystyle{ \text{P}_1\text{O} }[/math] e [math]\displaystyle{ \text{P}_2\text{O} }[/math] estão contidos em retas perpendiculares, se e somente se, vale o Teorema de Pitágoras. Podemos fazer a projeção dos dois pontos dados sobre o eixo x, visualizando assim dois triângulos retângulos auxiliares. Os dois catetos desconhecidos podem então serem expressos como hipotenusas dos triângulos auxiliares, com [math]\displaystyle{ y = 0 }[/math] para os dois catetos horizontais e [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] para os dois catetos verticais. Assim:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} |y_1 - 0|^2 + |x_1 - 0|^2 + |x_2 - 0|^2 + |y_2 - 0|^2 & = |x_2 - x_1|^2 + |y_2 - y_1|^2 & \iff \\ y_1^2 + x_1^2 + x_2^2 + y_2^2 & = x_2^2 - 2x_2x_1 + x_1^2 + y_2^2 - 2y_2y_1 + y_1^2 & \iff \\ 0 & = - 2x_2x_1 - 2y_2y_1 & \iff \\ \end{align*} }[/math]

Portanto, a condição para que o triângulo seja retângulo é:

[math]\displaystyle{ x_2x_1 + y_2y_1 = 0 }[/math]

Observação: a fórmula encontrada é o produto escalar em duas dimensões. O que acabamos de fazer foi demonstrar que quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar é nulo. Isso vale para n dimensões.