Derivadas parciais e direção

A ideia da derivada parcial é bastante semelhante à derivada convencional. O conceito da derivada é o de uma taxa de variação. Para funções de várias variáveis temos que olhar para a taxa de variação por variável. Este é o significado de "parcial". Uma função de várias variáveis pode crescer numa direção e decrescer na outra. Temos que estudar como a função se comporta para cada direção em separado das demais. Com os eixos sendo linearmente independentes podemos diferenciar em relação a uma variável, enquanto as demais são tratadas como constantes. A mesma discussão que temos sobre condições de diferenciabilidade para uma variável pode ser estendida para várias variáveis, apesar de que no caso de várias variáveis precisamos da álgebra linear para fazê-la direito.

Graficamente temos o seguinte:

Observe como as derivadas parciais, graficamente, significam que estamos considerando derivadas paralelas à cada eixo. Enquanto "andamos" paralelamente a um eixo temos variações naquela direção mas não nas outras. É por isto que funções de várias variáveis precisam de vetores, porque temos muitas variáveis e muitas direções. Observe como para diferenciar em relação a uma variável nós mantemos a distância para o eixo, o qual estamos paralelos a, constante. A distância em si não importante desde que seja constante. É este o significado gráfico de tratar uma variável como constante.

Podemos facilmente estender o mesmo limite que usamos para definir a derivada para uma variável para o caso de várias variáveis:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) = \lim_{x \ \to \ p} \frac{f(x, \ y) - f(p, \ y)}{x - p} }[/math] or [math]\displaystyle{ \lim_{h \ \to \ 0} \frac{f(x + h, \ y) - f(x, \ y)}{h} }[/math]

Observe que uma variável é mantida constante. Não temos nenhum incremento nela. Já temos a noção de direção quando a derivada é paralela a um eixo. Com uma pequena modificação na definição de uma derivada parcial definimos as derivadas direcionais, que nos permitem calcular a taxa de variação para direções que não sejam paralelas a um eixo.

Notação: assumindo [math]\displaystyle{ z = f(x,y) }[/math]

[math]\displaystyle{ f_x(x,y) = f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} f(x,y) = \frac{\partial z}{\partial x} = f_1 = D_1 f = D_x f }[/math]

Repita para as outras variáveis. O índice numérico 1 indica a primeira variável. Depois há a segunda, terceira e assim por diante.

Derivada direcional

Com uma variável escolhemos um ponto, damos um passo à frente até o próximo ponto e depois calculamos um limite para fazer a distância entre os dois pontos tender a zero. Esta é a derivada para uma variável. Não usamos vetores porque não precisamos. Para duas ou mais variáveis escolhemos um ponto e depois o próximo ponto pode estar em qualquer direção, desde que ambos sejam parte do domínio da função. Qual direção? Precisamos de um vetor para saber (é preciso saber a operação de ponto + vetor para entender a derivada direcional):

Temos:

[math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] é um vetor unitário (versor) em qualquer direção. É importante frisar que a magnitude ou norma do vetor é 1 porque precisamos da direção apenas. Se você não se lembra ou não sabe, um vetor unitário tem cada uma de duas coordenadas dividida pela magnitude do vetor. Se esquecermos de normalizar o vetor o resultado será uma taxa de variação errada.

[math]\displaystyle{ (x_0 + a, \ y_0 + b) = (x_1, \ y_1) }[/math]

Calculando a função nos pontos:

[math]\displaystyle{ f(x_0 + a, \ y_0 + b) }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x_0, \ y_0) }[/math]

Agora temos os dois pontos necessários para calcular o mesmo limite de uma derivada (para mais do que duas variáveis é a mesma coisa, exceto que cada ponto tem mais coordenadas):

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}} (a, b) = \lim_{h \ \to \ 0} \frac{f(x_0 + ha, \ y_0 + hb) - f(x_0, \ y_0)}{h} }[/math]

Da definição da derivada lembre-se que [math]\displaystyle{ h }[/math] é algum incremento (positivo). Estamos dando o mesmo passo em ambos os eixos ao mesmo tempo.

A outra forma de escrever a derivada para uma variável envolve a divisão por [math]\displaystyle{ x - p }[/math]. Para duas variáveis não podemos dividir por [math]\displaystyle{ (x,y) - (p_x, p_y) }[/math] porque não existe a operação de diferença entre pontos. Dividir por um vetor também não existe. Além de que não é assim que calculamos a distância entre dois pontos. Note que [math]\displaystyle{ h }[/math] no limite acima representa a distância entre dois pontos da função, qualquer que seja a direção da derivada. Ao olharmos para a taxa de variação entre um ponto e outro já estamos considerando apenas duas dimensões, uma altura e um afastamento.

O uso de limites para calcular derivadas para uma ou várias variáveis toma tempo. Para duas variáveis e além podemos pular as contas também. Eu vou recorrer aos vetores para explicar, conceitualmente e omitindo o formalismo, que podemos calcular derivadas direcionais mais rápido por meio de uma soma de derivadas parciais, uma por coordenada. Na física e na matemática aprendemos que qualquer vetor num espaço euclidiano pode ser decomposto como uma soma de componentes, uma por dimensão. Por exemplo: [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}_x + \overrightarrow{v}_y + \overrightarrow{v}_z }[/math]. Cada coordenada pode ter a sua própria taxa de variação e função particular que descreva o movimento naquela direção. Podemos facilmente interpretar as derivadas direcionais como uma soma de derivadas parciais, uma para cada variável ou coordenada da mesma forma que visualizamos vetores como uma soma de componentes.

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}(a,b) = \frac{\partial f}{\partial x}a + \frac{\partial f}{\partial y}b }[/math]

Observação: o resultado da conta é um escalar, porque a taxa de variação é uma quantidade escalar, não vetorial.