Dependência linear
Informalmente, dependência linear é um conceito que diz quando um vetor pode ser escrito como uma soma de outros. Dado um vetor, isoladamente, não há como decompô-lo em outros. Dados dois ou mais vetores, os vetores podem ser dependentes ou independentes. Isto é, se um dos vetores é múltiplo ou uma soma dos demais, significa que apenas com as operações de soma e multiplicação por escalar é possível fazer uma composição dos vetores dados de tal forma que um deles é encontrado como composição dos demais. Caso não seja possível encontrar um vetor como uma composição dos demais, então ele é independente dos demais. Geometricamente, dois vetores são dependentes entre si se eles são paralelos. Três vetores são dependentes ente si se eles são paralelos ao mesmo plano. A visualização geométrica perde-se a partir de vetores com quatro coordenadas, não é mais possível desenhar planos e retas com quatro ou mais dimensões.
O conceito de dependência linear e o de combinação linear são vistos em geometria analítica sem a necessidade do conceito de espaço vetorial. Isso é possível porque a dependência e as combinações entre vetores são justificadas geometricamente. O tempo todo se esta dentro de um espaço vetorial, embora isso não seja formalizado até que se chegue no curso de álgebra linear. Na álgebra linear os três conceitos são formalizados de maneira mais rigorosa e atrelados um ao outro. É sempre dentro de um espaço vetorial que falamos em dependência linear e em combinações lineares de vetores.
Sigla: LI (linearmente independente) e LD (linearmente dependente)
a) LD
b) LI
c) LD
d) LI
Agora passando para uma definição algébrica.
Dependência linear: dados os vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v}_1, \; \overrightarrow{v}_2, \; \dots, \overrightarrow{v}_n \; (n \ge 1) }[/math], dizemos que eles são linearmente dependentes se existem escalares [math]\displaystyle{ a_1, \; \dots, a_n }[/math] não todos nulos tais que
isto é, [math]\displaystyle{ a_1 \overrightarrow{v}_1 + a_2 \overrightarrow{v}_2 + \; \dots \; + a_n \overrightarrow{v}_n = \overrightarrow{0} }[/math]. Se os vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v}_1, \; \dots, \overrightarrow{v}_n }[/math] não são linearmente dependentes, dizemos que eles são linearmente independentes.
Para verificar que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v}_1, \; \dots, \overrightarrow{v}_n }[/math] são linearmente independentes basta provar que [math]\displaystyle{ a_1 \overrightarrow{v}_1 + a_2 \overrightarrow{v}_2 + \; \dots \; + a_n \overrightarrow{v}_n = \overrightarrow{0} }[/math] implica [math]\displaystyle{ a_1 = a_2 = \; \dots \; a_n = 0 }[/math].
Note que a definição independe da visualização geométrica e portanto, não depende se estamos num espaço com duas, três ou mais dimensões.
Álgebra linear: a definição é igual, mas adiciona [math]\displaystyle{ L = \{ v_1, \;, v_2, \; \dots, v_n \} \subset \mathbb{V} }[/math]. Veja que não faz sentido falar em dependência linear se os elementos não são vetores ou se temos vetores que não pertencem a um subespaço vetorial. Como os vetores pertencem a um subespaço, então temos as operações de soma e multiplicação por escalar fechadas e um vetor nulo. As flechas são omitidas da notação, pois os vetores não são mais apenas os segmentos orientados, podem ser matrizes ou termos de um polinômio por exemplo.
(adicionar mais tarde: alguns exercícios pedem a verificação da dependência linear entre funções e como não estamos mais lidando com a visualização de vetores como flechas, a interpretação da dependência linear fica mais abstrata. Nesses exercícios aparece o cálculo de uma derivada e a montagem de um sistema de equações não lineares. A explicação para o cálculo da derivada passa pelo entendimento do conceito de transformação linear e do wronskiano)
Combinação linear: dados n vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v}_1, \; \overrightarrow{v}_2, \; \dots, \overrightarrow{v}_n }[/math] e n escalares , [math]\displaystyle{ a_1, \; a_2, \; \dots, a_n }[/math], o vetor
chama-se de combinação linear de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v}_1, \; \dots, \overrightarrow{v}_n }[/math] com coeficientes [math]\displaystyle{ a_1, \; \dots, a_n }[/math].
Álgebra linear: idem dependência linear. Veja que se temos um conjunto que não seja um subespaço, então uma combinação linear pode não estar dentro do conjunto e portanto, a dependência linear perde o sentido para um elemento que não pertença ao conjunto. É aí que os conceitos de espaço vetorial, combinação e dependência linear passam a ser vistos de maneira integrada.
Teorema: dados os vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v}_1, \; \dots, \overrightarrow{v}_n }[/math], se um deles é combinação linear dos outros então eles são linearmente dependentes. Observação: o teorema diz que um deles é LD, não diz qual, então é possível que o conjunto tenha diversos vetores LI e um que é combinação dos demais.
Interpretação geométrica: se eu tenho n vetores linearmente dependentes, significa que qualquer um deles pode ser decomposto como uma soma dos demais. Caso fossem LI, um vetor não poderia ser expresso como uma soma dos demais. Porém, não necessariamente o vetor é decomposto como uma soma de todos os outros, pode ser de apenas alguns, enquanto o restante é redundante na composição. Aqui ainda não entra o conceito de conjunto gerador.
Prova
Como [math]\displaystyle{ a_1 \neq 0 }[/math], os vetores são LD.
Um exemplo físico: eu tenho três vetores no plano, um deslocamento decomposto em duas componentes. Se eu inverter o sentido do deslocamento e somar esse vetor com as componentes do vetor deslocamento não invertido, estarei fazendo o caminho de retorno, que resulta em deslocamento nulo, vetor nulo.
Teorema: dados n vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v}_1, \; \dots, \overrightarrow{v}_n }[/math], se k desses vetores [math]\displaystyle{ (1 \le k \le n) }[/math] forem linearmente dependentes, então eles são linearmente dependentes.
Suponhamos, por exemplo, que um dos vetores seja LD. Então existem [math]\displaystyle{ a_1, \; \dots, a_k }[/math] não todos nulos tais que [math]\displaystyle{ a_1 \overrightarrow{v}_1 + \; \dots \; + a_k \overrightarrow{v}_k = \overrightarrow{0} }[/math]. Então [math]\displaystyle{ a_1 \overrightarrow{v}_1 + \; \dots \; + a_k \overrightarrow{v}_k + 0 \overrightarrow{v}_{k+1} + \; \dots \; + 0 \overrightarrow{v}_n = \overrightarrow{0} }[/math], o que prova que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v}_1, \; \dots, \overrightarrow{v}_n }[/math] é LD.
Este teorema nada mais é do que uma generalização do anterior. O anterior dizia que a sequência de vetores era LD se um deles fosse combinação dos demais. Este diz que a sequência é LD caso existam vetores que sejam combinações dos demais, o que pode acontecer com um ou mais vetores, até o limite em que todos sejam LD. Seja um conjunto de muitos vetores, podemos escolher alguns que formem um subconjunto LD ou LI. Mas quando tratamos todos simultaneamente num conjunto só, é inevitável que alguns desses vetores possam ser expressos como combinações de outros.
Corolário: se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v}_1, \; \dots, \overrightarrow{v}_n }[/math], são LI, então k desses vetores também o são [math]\displaystyle{ (k \le n) }[/math].
É natural que se eu tenho um conjunto de vetores LI, posso escolher qualquer número deles que o novo conjunto continua sendo LI. A dependência linear é recíproca, os vetores são mutuamente LI ou LD.
Teorema: um vetor é LD se e somente se é nulo.
Um vetor, isoladamente, não tem como ser expresso como combinação linear pois não há um outro vetor tal que uma combinação linear produza o vetor desejado. Por outro lado, o vetor nulo pode ser representado por qualquer soma de vetores onde um é o oposto do outro. Geometricamente, apenas o vetor nulo pode ser paralelo a qualquer outro.
Observação: [math]\displaystyle{ 0 \overrightarrow{0} + 0 \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} }[/math]. Como [math]\displaystyle{ a = b = 0 }[/math], o vetor nulo é LI? Não, pois [math]\displaystyle{ a = b = 0 }[/math] não é a única solução. Portanto, a soma de vetores nulos não representa uma combinação linear de vetores LI.
Teorema: para que dois vetores sejam LD, é necessário e suficiente que eles sejam paralelos.
Primeiro vamos mostrar que dois vetores LD são paralelos.
Suponhamos [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] LD. Então existem escalares a e b não ambos nulos tais que [math]\displaystyle{ a \overrightarrow{u} + b \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} }[/math]. Suponhamos [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math] (poderia ser b, tanto faz). Então [math]\displaystyle{ a \overrightarrow{u} = -b \overrightarrow{v} \iff \overrightarrow{u} = \left( -\frac{b}{a} \right) \overrightarrow{v} }[/math] e portanto [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] tem a mesma direção. (Se [math]\displaystyle{ b = 0 }[/math], então [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} }[/math] e portanto [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \parallel \overrightarrow{v} }[/math]).
Agora vamos mostrar que dois vetores paralelos são LD.
Suponhamos [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0} }[/math], então os versores tem mesma direção e mesmo comprimento.
[math]\displaystyle{ \frac{\overrightarrow{u}}{||\overrightarrow{u}||} = \pm \frac{\overrightarrow{v}}{||\overrightarrow{v}||} }[/math]
e portanto [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} ||\overrightarrow{u}|| \pm \overrightarrow{v} ||\overrightarrow{v}|| = \overrightarrow{0} }[/math], o que prova que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] são dependentes.
Corolário: se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0} }[/math], então, dado um vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] paralelo a [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math], existe um único número real [math]\displaystyle{ t }[/math] tal que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = t \overrightarrow{v} }[/math].
Interpretação geométrica: dois vetores paralelos a uma mesma reta, um só pode ser múltiplo do outro. Basta esticar ou encolher um deles para que um seja expresso em função do outro.
Como [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] são paralelos existem [math]\displaystyle{ a }[/math] e [math]\displaystyle{ b }[/math] não ambos nulos tais que [math]\displaystyle{ a \overrightarrow{u} + b \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} }[/math]. É claro que [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math] (pois se [math]\displaystyle{ a = 0 }[/math], teríamos [math]\displaystyle{ b \neq 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ b \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} }[/math], donde [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} }[/math]). Então [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = \left( -\frac{b}{a} \right) \overrightarrow{v} }[/math] e [math]\displaystyle{ t = -\frac{b}{a} }[/math].
Agora vamos provar que o escalar t é único
Suponhamos [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = t\overrightarrow{u} = t'\overrightarrow{u} }[/math].
Então
[math]\displaystyle{ \begin{align*} t\overrightarrow{u} = t'\overrightarrow{u} & \iff \\ t \overrightarrow{u} - t' \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} & \iff \\ t - t' = 0 & \iff \\ t = t' \end{align*} }[/math]
pois [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0} }[/math] (se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} }[/math], [math]\displaystyle{ t }[/math] e [math]\displaystyle{ t' }[/math] poderiam assumir qualquer valor).
Se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] são paralelos e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0} }[/math], o número real [math]\displaystyle{ t }[/math] tal que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = t \overrightarrow{v} }[/math] chama-se razão dos vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math].
É claro que [math]\displaystyle{ |t| = \frac{|\overrightarrow{u}|}{|\overrightarrow{v}|} }[/math]. Se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0} }[/math], então [math]\displaystyle{ t }[/math] será positivo ou negativo conforme [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] tenham mesmo sentido ou sentidos contrários.
Teorema: para que três vetores sejam LD, é necessário e suficiente que eles sejam coplanares.
Interpretação geométrica: os pontos origem e extremidade de cada segmento orientado que representa cada um dos vetores estão contidos num mesmo plano. Se dois desses vetores são paralelos entre si (em particular, se um deles for nulo), isso implica que os três vetores são paralelos a um mesmo plano, não importando a orientação do terceiro vetor.
Suponhamos [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] LD. Então existem escalares [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] e [math]\displaystyle{ c }[/math] não todos nulos tais que [math]\displaystyle{ a \overrightarrow{u} + b \overrightarrow{u} + c \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} }[/math]. Supondo [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math], temos
Os vetores [math]\displaystyle{ \left( -\frac{b}{a} \right) \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \left( -\frac{c}{a} \right) \overrightarrow{v} }[/math] são coplanares a [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] (mais do que isso, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} \parallel \left( -\frac{b}{a} \right) \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} \parallel \left( -\frac{c}{a} \right) \overrightarrow{v} }[/math] ) , e portanto [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] tambem é coplanar a [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] (é claro que numa soma de dois vetores, o vetor resultante é coplanar aos anteriores)
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Suponhamos [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] coplanares e tomemos [math]\displaystyle{ A = 0 + \overrightarrow{u} }[/math], [math]\displaystyle{ B = 0 + \overrightarrow{v} }[/math] e [math]\displaystyle{ C = 0 + \overrightarrow{w} }[/math].
Supondo [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] não paralelos (se o fossem, seria imediato), tracemos por C a reta paralela a [math]\displaystyle{ OB }[/math] (que encontra [math]\displaystyle{ OA }[/math] no ponto [math]\displaystyle{ A' }[/math]) e a reta paralela a [math]\displaystyle{ OA }[/math] (que encontra [math]\displaystyle{ OB }[/math] no ponto [math]\displaystyle{ B' }[/math]). Como [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} = A - O }[/math] não é nulo e [math]\displaystyle{ A' - O \parallel A - O }[/math], temos [math]\displaystyle{ A' - O = a \overrightarrow{u} }[/math]. Analogamente, [math]\displaystyle{ B' - O = b \overrightarrow{v} }[/math]. Sendo [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = C - O = (A' - O) + (B' - O) }[/math], temos [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = a \overrightarrow{u} + b \overrightarrow{v} }[/math], o que prova a dependência. |
Corolário: se [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] são LI, todo vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] coplanar a [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] se exprime de maneira única como combinação linear de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math], isto é, existe um único par de escalares [math]\displaystyle{ (m, \; n) }[/math] tal que [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = m \overrightarrow{u} + n \overrightarrow{v} }[/math].
Provando a existência
Como [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u}, }[/math] [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] são coplanares, eles são LD e portanto existem escalares [math]\displaystyle{ a, \; b }[/math] e [math]\displaystyle{ c }[/math] não todos nulos tais que a [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} + b \overrightarrow{v} + c \overrightarrow{w} = \overrightarrow{0} }[/math]. É claro que[math]\displaystyle{ c \neq 0 }[/math] (pois se [math]\displaystyle{ c = 0 }[/math], teríamos a [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} + b \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} }[/math] com [math]\displaystyle{ a }[/math] e [math]\displaystyle{ b }[/math] não ambos nulos e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] seriam LD). Então
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} = \left( -\frac{a}{c} \right) \overrightarrow{u} + \left( -\frac{b}{c} \right) \overrightarrow{v} }[/math]
Provando a unicidade
Suponhamos que o par de escalares [math]\displaystyle{ (m, \; n) }[/math] não seja único
[math]\displaystyle{ \begin{align*} \overrightarrow{w} = & m \overrightarrow{u} + n \overrightarrow{v} = m' \overrightarrow{u} + n' \overrightarrow{v} & & \iff \\ & m \overrightarrow{u} + n \overrightarrow{v} - m' \overrightarrow{u} - n' \overrightarrow{v} & = \overrightarrow{0} & \iff \\ & (m - m') \overrightarrow{u} + (n - n') \overrightarrow{v} & = \overrightarrow{0} & \iff \\ & \therefore m = m' \text{ e } n = n' \end{align*} }[/math]
Teorema: quatro ou mais vetores sempre são LD. Observação: em geometria analítica todos os resultados são visualizados em duas e três dimensões. Mas em álgebra linear a dependência linear é estendida para n dimensões, então num espaço de mais de três dimensões existem conjuntos de mais de três vetores LI.
Interpretação geométrica: se dois ou três dos vetores são paralelos, então já temos que um vetor é múltiplo de outro. Se três são paralelos a um mesmo plano, então já temos que um deles é combinação dos outros dois. Se três são não paralelos a um mesmo plano, o quarto só pode ser combinação dos outros três. Se os quatro vetores são coplanares e não paralelos entre si, então dois deles geram os outros dois. Com mais vetores, inevitavelmente caímos em alguma das situações anteriores.
Suponha os vetores [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math], [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] LI.
Na figura, [math]\displaystyle{ C }[/math] não pertence ao plano [math]\displaystyle{ PAB }[/math], pois o vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math] não é combinação linear de [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] e [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math]. Pelo ponto [math]\displaystyle{ D }[/math] tracemos uma reta que intercepta o plano [math]\displaystyle{ PAB }[/math] e é paralela à reta que contem o vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{w} }[/math]. Chamemos o ponto de encontro de [math]\displaystyle{ E }[/math]. Geometricamente, temos o seguinte:
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{PE} = a \overrightarrow{PA} + b \overrightarrow{PB} }[/math]. Mas, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{PD} = \overrightarrow{PE} + \overrightarrow{ED} }[/math], ou seja, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{x} = a \overrightarrow{u} + b \overrightarrow{v} + c \overrightarrow{w} }[/math].
Se temos quatro vetores coplanares, então é claro que o quarto vetor pode ser expresso como combinação linear dos outros três.
