Definição e operações básicas

Classe de equipolência: um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. Isto é, dado um segmento [math]\displaystyle{ AB }[/math], o vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados iguais a [math]\displaystyle{ AB }[/math]. A notação adota uma flecha, [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} }[/math], B - A ou [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} }[/math]. Perceba que o vetor não é a própria flecha, a flecha é apenas um representante. O vetor é um objeto matemático que não tem forma definida. O que se visualiza é um segmento orientado que representa um vetor.

A primeira notação é uma forma condensada de um segmento orientado. A segunda notação chama-se Grassman (em homenagem ao matemático alemão Hermann Grassmann). Atenção com a notação de Grassman! A notação de Grassman atém-se ao fato de que todo segmento orientado é definido por dois pontos e por um sentido de percurso, portanto temos uma notação mnemônica que indica a distância percorrida entre o ponto origem e o ponto extremidade. Porém, a notação pode incorrer o engano de se fazer a operação de subtração de pontos, que não existe.

A terceira notação omite os pontos origem e extremidade, enfatizando que o vetor é uma classe de equipolência. Em livros estrangeiros é comum a notação com a letra em negrito sem a flecha. Em livros de álgebra linear omite-se a flecha, pois o contexto dos problemas encarrega-se de diferenciar valores escalares de vetoriais.

Um conceito que pode gerar confusão é o fato do vetor carregar consigo a noção de direção e sentido, mas ao mesmo tempo ser um conjunto de inúmeros segmentos orientados que podem estar localizados em qualquer lugar do espaço. Uma analogia: pense no vetor como um meio de transporte, se um carro transporta pessoas ou um mosquito transporta um vírus, existem inúmeras cópias do mesmo carro ou mosquito que tem exatamente a mesma forma e função. Num exemplo físico, um vetor esta sempre associado ao transporte, mudança ou movimento. Assim, um vetor é uma força ou um deslocamento, não importando qual seja o representante, um mesmo vetor força ou deslocamento tem a mesma função em qualquer problema físico. Um vetor não tem localização pré-definida no espaço, assim como um carro ou mosquito estão descritos sem que seja necessário especificar uma posição.

Em álgebra linear os vetores podem ser funções ou termos de um polinômio por exemplo, enfatizando que o vetor não é uma flecha que se desenha.

Soma de vetores:

A regra do paralelogramo e a do polígono são equivalentes. A soma é comutativa, então tanto faz a ordem. Havendo muitos vetores, tanto pode se fazer a soma colocando todos os vetores em sequência como pode-se fazer em partes, somando dois ou mais e a resultante com o seguinte. Na soma vetorial o que se faz é achar o vetor resultante, não somar os comprimentos dos vetores (que seria uma soma escalar)!

A subtração de vetores é uma soma onde o segundo vetor teve o sentido trocado, invertendo o sinal. Geometricamente, soma e subtração são representados pelas diagonais de um paralelogramo.

Somando-se um vetor com o seu próprio oposto obtém-se um vetor nulo, que fica representado por um ponto uma vez que origem e extremidade coincidem. Em física, um corpo que se desloca por qualquer caminho e retorna à sua posição inicial percorreu uma distância não nula, mas o vetor deslocamento é nulo. Cuidado! Um ponto e um vetor nulo não são o mesmo objeto matemático!

Multiplicação por número real:

Geometricamente, é o mesmo que esticar ou encolher um vetor. Esta operação não altera a orientação do vetor, apenas altera o comprimento. Se o número real for negativo, invertemos o sentido.

Nota: uma questão de preciosismo. Pode acontecer de alguém, por uma questão de comodidade na visualização ou apenas uma preferência, desenhar um vetor com uma espessura maior no lugar de um comprimento maior. Ou então, no lugar de um vetor com o dobro do tamanho, dois vetores iguais que somados resultam no dobro do vetor original. Algebricamente é como perguntar se "3 x 2 = 6" é diferente de "3 + 3" ou "2 + 2 + 2". Desde que a orientação do vetor não tenha mudado, não tem uma regra que diga qual é a forma correta de representar a operação de multiplicar um vetor por um número real.

Geometricamente, multiplicar uma soma de vetores mantem a proporção do triângulo formado pela regra do polígono. Os triângulos formados são semelhantes.

Soma de ponto com vetor:

Seja um ponto P e um vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math]. Geometricamente, a soma é colocar o vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{u} }[/math] ou um segmento orientado que o representa, com a origem coincidindo como P. O ponto P é então transladado até a extremidade do vetor num ponto Q. Esta é a interpretação geométrica por trás da notação [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB} }[/math]. Fisicamente, quando um corpo é deslocado de sua posição inicial por meio de um vetor (velocidade por exemplo), o resultado é uma posição final do corpo. Em física, o vetor apenas intermedia uma ação.

Outras operações:

Não existe a operação de multiplicação de vetores e a sua inversa, a divisão de vetores. Como um vetor determina uma orientação, multiplicação e divisão não fazem sentido; não há um significado em multiplicar ou dividir direções e sentidos. O que esta definido são as operações de dividir e multiplicar pelo comprimento de um vetor, este sim um escalar.

Não há também uma definição para uma operação que rotacione vetores sem alterar o módulo. Seja um vetor no plano cartesiano, ele é determinado por um par de coordenadas. Para girar um vetor, quer seja no sentido horário, quer seja no sentido anti-horário, é preciso mudar ambas as coordenadas, mas uma em sentido oposto à outra. Por exemplo: seja o vetor (1,1), ele apresenta um ângulo de 45° em relação ao eixo x. Para mudá-lo para 60° no sentido anti-horário é preciso incrementar as coordenadas para que elas sejam [math]\displaystyle{ \left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \right) }[/math]. Apenas com as operações de soma e multiplicação por escalar, o que podemos fazer é composições do vetor com outros vetores, de tal forma que o vetor resultante seja uma rotação do vetor desejado. Mesmo num sistema de coordenadas polar, onde temos ângulo e módulo, não dispomos de uma operação que diga "some x unidades ao ângulo do vetor".

Exemplo da notação de Grassmann:

Suponha que sejam dados dois pontos no plano, [math]\displaystyle{ A = (1,2) }[/math] e [math]\displaystyle{ B = (5,5) }[/math]. Quais as coordenadas do vetor [math]\displaystyle{ \overrightarrow{AB} }[/math] ?

[math]\displaystyle{ \begin{align*} A + \overrightarrow{v} = & B \\ (1,2) + (x,y) = & (5,5) \\ \end{align*} }[/math]

Donde vem o sistema linear:

[math]\displaystyle{ \begin{align*} 1 + x = 5 \\ 2 + y = 5 \\ \\ \therefore x = 4, y = 3 \\ \overrightarrow{v} = (4,3) \end{align*} }[/math]

Perceba que a notação de Grassmann representa uma soma de ponto com vetor, não uma diferença entre coordenadas de pontos! Atenção também ao fato de que, embora a palavra coordenada remeta à posição, as coordenadas do vetor não indicam onde o vetor está localizado. As coordenadas do vetor indicam uma certa quantidade de deslocamento, quantos passos são dados em qual sentido de cada eixo. Apesar das notações de vetores e pontos serem iguais, no contexto dos problemas sempre é clara a diferença entre localização e vetor.