Curvas de nível e superfícies de nível

Por quê curvas de nível são linhas? Porque funções de duas variáveis são folhas com espessura nula. Estendendo para três variáveis e as superfícies de nível são folhas com espessura nula. Indo além para funções de quatro ou mais variáveis e a espessura perde o sentido porque o que entendemos por espessura só faz sentido para 2D ou 3D.

Para entender curvas de nível é preciso saber os princípios básicos da geometria analítica primeiro. Sabendo traçar parábolas (não a função), hipérboles e círculos é o suficiente para entender curvas de nível. A diferença fundamental entre traçar um gráfico de uma função e curvas de nível é que no primeiro caso temos uma variável dependente e outra independente. Enquanto no segundo caso temos duas variáveis independentes. O que é igual em ambos é que cada ponto tem um par único de coordenadas que nos permite localizá-lo no plano.

Traçar várias curvas de nível no mesmo gráfico produz um mapa de contorno. Bons exemplos de mapas de contorno são mapas de isotermas e mapas de isobaras. Cada ponto numa curva de nível tem um mesmo valor para [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math]. No caso das isotermas é a temperatura. Para as isobaras, a pressão é constante sobre uma curva de nível. A ideia geométrica é pegar uma função de duas variáveis e interceptá-la com muitos planos paralelos ao plano XY, que seria o nível "do solo" no caso. Veja este aplicativo interativo: https://www.geogebra.org/m/J3kDCzjz

Ler um mapa de contorno pode impor um certo grau de dificuldade quando comparado com a leitura de gráficos de função de uma variável, mas nada que seja complicado. Temos coordenadas de um ponto [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]. Suponha que um ponto esteja entre dois níveis, o nível 3 e o 5. Verifique qual nível esta mais próximo do ponto seguindo uma linha reta. Se o ponto estiver perto do nível 5, então o valor da função naquele ponto deve ser 4.8 ou 4.9 por exemplo. Se estiver mais próximo do nível 3, então o valor deve ser algo como 3.1 ou 3.2 por exemplo. Se o ponto esta exatamente sobre a curva de nível, então o valor ali é o valor do nível propriamente dito.

Estendendo a ideia para três variáveis e temos superfícies de nível. Neste ponto a visualização geométrica da função de três variáveis é impossível porque não temos como traçar um gráfico 4D. O que temos acesso é a visualização das superfícies de nível. Da mesma forma que uma círcunferência pode ser uma curva de nível de uma função de duas variáveis. A superfície de uma esfera pode ser uma superfície de nível de uma função de três variáveis.

Cuidado com a confusão entre curvas de nível e funções de uma variável. Uma função de uma variável pode coincidir parcialmente com uma curva de nível de uma função de duas variáveis. Por exemplo: meia circunferência. Uma função de duas variáveis pode parcialmente coincidir com uma superfície de nível de uma função de três variáveis. Por exemplo: meia esfera.

A parte mais difícil das superfícies de nível é que elas são 3D e a função de três variáveis é 4D. Quando traçamos uma curva de nível elas são 2D e não existe o "eixo de profundidade". Porém, com superfícies de nível temos profundidade e ainda assim, cada ponto da superfície representa uma mesma "altura" no espaço 4D da função de três variáveis. É um pouco contra-intuitivo.

Note que curvas de nível e superfícies de nível nunca podem se dobrar a ponto de terem uma intersecção consigo mesmas. Se houver uma intersecção temos uma contradição, o mesmo ponto do domínio da função esta sendo levado a dois valores diferentes, o que viola a definição de uma função.

Curvas de nível e taxas de variação

Com uma variável é fácil notar quando a taxa de variação de uma função é constante. Isto ocorre quando o gráfico da função é uma linha reta. Com duas variáveis temos dois casos possíveis, o que torna a análise da taxa de variação bem mais difícil de fazer: um caso são curvas de nível que são linhas retas; o outro são curvas de nível que são curvas. Para algumas funções há curvas de nível que são linhas retas para alguns níveis, enquanto outros são curvas. Isto também é possível.

Primeiro caso: curvas de nível que são linhas retas. O que podemos inferir disto? Duas possibilidades. Uma é que o gráfico da função é um plano. Ele não se curva em nenhuma direção. Isto ocorre quando a taxa de variação da função é constante em ambas as direções. A outra é que a taxa de variação é constante em uma direção mas não na outra. Neste caso temos linhas paralelas, mas a distância entre as mesmas não é constante.

Segundo caso: curvas de nível que são curvas. O que podemos inferir disto? Que o gráfico da função tem taxas de variação variáveis em ambas as direções. Se a distância entre cada curva de nível é constante, isto significa que a taxa de variação em cada direção é igual à outra em termos de valores absolutos. Senão, com uma distância variável entre as curvas de nível, então a função esta crescendo ou decrescendo mais rápido numa direção do que na outra.

Para três variáveis e superfícies de nível é inviável fazer a mesma análise gráfica à mão. O melhor que podemos fazer é traçar as superfícies de nível num computador para vê-las.

Observação: Eu não mencionei as derivadas parciais porque não precisamos delas para traçar curvas de nível.