Completamento de quadrados e a fórmula de Bháskara

O completamento dos quadrados é melhor entendido com uma interpretação geométrica. Primeiro me permita mostrar a figura:

A associação gráfica é bem clara. O que não fica tão óbvio muitas vezes é o fato de que [math]\displaystyle{ (a + b)^2 }[/math] pode ser visto de maneira literal. Todo o quadrado tem lados cujo comprimento é a soma de dois lados menores [math]\displaystyle{ a }[/math] e [math]\displaystyle{ b }[/math].

A ideia do completamento dos quadrados é reescrever a equação quadrática na forma [math]\displaystyle{ (a + b)^2 }[/math]. Todos aprendemos na escola que equações quadráticas tem esta forma [math]\displaystyle{ (a + b)^2 }[/math]. Quando [math]\displaystyle{ c = 0 }[/math] fica fácil calcular as raízes porque podemos fatorar a equação na forma [math]\displaystyle{ x(ax + b) }[/math]. Daí resolvemos uma equação linear. Uma equação da forma [math]\displaystyle{ x^2 + bx }[/math] é a mesma coisa que [math]\displaystyle{ a^2 + ab }[/math] como a figura acima mostra.

Graficamente temos isto:

[math]\displaystyle{ x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 }[/math] (Note que para completar o quadrado aumentamos a área total)

É um pouco engraçado como a maioria dos livros menciona este tópico sem fazer a associação com quadrados. Quadrados, literalmente.

Referência: Eu vi todo este raciocínio gráfico aqui mathisfun (em inglês).

Demonstração da fórmula para resolver equações polinomiais de segundo grau

Podemos usar o completamento dos quadrados para achar a fórmula para resolver equações quadráticas. Tente isolar o [math]\displaystyle{ x }[/math] de [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0 }[/math]. Muito rapidamente você irá perceber que é praticamente impossível. O fato da equação ter tanto [math]\displaystyle{ x }[/math] quanto [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] torna a tarefa muito difícil. Temos que reescrever a equação para conseguir isolar o [math]\displaystyle{ x }[/math]. Veja a figura anterior e compare [math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c }[/math] com [math]\displaystyle{ x^2 + bx }[/math]. A única diferença é que no primeiro caso temos uma constante multiplicando o quadrado e uma outra constante solta.

Há outras formas de deduzir a fórmula além do completamento dos quadrados. Mas vou omiti-las.

Na figura, [math]\displaystyle{ \frac{c}{a} }[/math] é um retângulo mas não sabemos. Poderia ser um quadrado também. É só uma figura sem escala ou proporção.

Primeiro podemos dividir tudo por [math]\displaystyle{ a }[/math] porque se [math]\displaystyle{ a = 0 }[/math] não temos mais uma equação quadrática:

[math]\displaystyle{ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \iff x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} }[/math]

Se temos [math]\displaystyle{ x^2 + mx }[/math], podemos deduzir qual termo falta para completar o quadrado? Sim. [math]\displaystyle{ \left(\frac{m}{2}\right)^2 }[/math] porque o termo do meio é sempre 2 x 1^o x 2^o termos. Portanto:

[math]\displaystyle{ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 }[/math]	Não mudamos a área do quadrado porque ambos os lados da equação continuam iguais. Em outras palavras, adicionar um quadrado perfeito em ambos os lados da equação é o mesmo que adicionar e subtrair um mesmo quadrado de um lado só da equação.
[math]\displaystyle{ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 }[/math]	Com esta operação eliminados o termo [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] e agora fica mais fácil de isolar o [math]\displaystyle{ x }[/math].
[math]\displaystyle{ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} }[/math]	Use o mínimo múltiplo comum do lado direito.
[math]\displaystyle{ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 =\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} }[/math]	Tire a raiz quadrada em ambos os lados.
[math]\displaystyle{ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} }[/math]	Podemos tirar a raiz quadrada do denominador porque é um quadrado perfeito.

[math]\displaystyle{ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }[/math]

Voltando na figura, o que encontramos foi uma forma de expressar [math]\displaystyle{ x }[/math] em termos de vários parâmetros, as constantes de toda equação quadrática, de tal forma que ambos os lados da equação mantém a igualdade. No começo da demonstração tínhamos [math]\displaystyle{ x }[/math] à esquerda e [math]\displaystyle{ -\frac{c}{a} }[/math] à direita. A pergunta ali era: há um [math]\displaystyle{ x }[/math] tal que ambos os lados da equação tenham a mesma área?

[math]\displaystyle{ ax^2 + bx + c = 0 }[/math]. Dando uma segunda olhada, agora com uma interpretação geométrica, o significado da equação é: temos uma soma de quadrados e retângulos ou cada termo é um número. Há um [math]\displaystyle{ x }[/math] tal que a soma de dois dos termos seja igual ao terceiro em valores absolutos?

File:Square_complete3.png Deixo este erro aqui por referência. O erro aqui é que o quadrado da direita tem uma área menor do que a área inicial à esquerda. Por isto a fórmula encontrada será parecida com a fórmula procurada para equações quadráticas, mas com diferenças importantes.

Fórmula de Bhaskara: Eu não sei porque o nome é este no Brasil se em outros países o nome não é este. Outros países do mundo não fazem a associação com o matemático indiano que dá nome à fórmula. Outro fato curioso é que existe um segundo matemático indiano com o mesmo nome e a maioria desconhece este fato. Um viveu milhares de anos antes de Cristo, o outro centenas de anos depois de Cristo.

Completando o cubo: se alguém perguntou sobre a equação cúbica, a ideia geométrica segue o mesmo padrão. Mas se usarmos o mesmo raciocínio anterior temos que impor uma certa condição. A raiz cúbica da equação é uma raiz tripla.