Base
Informalmente, uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes. São vetores fundamentais que são a base para formar todos os elementos de um espaço. Podemos escrever um vetor de um espaço como uma combinação linear dos vetores que formam a base. A definição de uma base em geometria analítica e em álgebra linear é a mesma, mas em geometria analítica omitem-se os termos "espaço vetorial" e "finitamente gerado". A diferença é que em geometria analítica as visualizações em três dimensões estão sempre limitadas às bases de até três vetores e os vetores são sempre visualizados como segmentos orientados. Já em álgebra linear os espaços vetoriais podem ser de matrizes, polinômios ou funções, aí uma base pode ter n vetores e perde-se a visualização geométrica.
Base: Seja [math]\displaystyle{ \mathbb{V} }[/math] um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de [math]\displaystyle{ \mathbb{V} }[/math] é um subconjunto finito [math]\displaystyle{ \text{B} \subset \mathbb{V} }[/math] para o qual as seguintes condições se verificam:
- [math]\displaystyle{ [\text{B}] = \mathbb{V} }[/math] (lê-se: o subconjunto B gera o espaço vetorial V.)
- [math]\displaystyle{ \text{B} }[/math] é LI
Exemplos de bases canônicas (as bases mais naturais de um espaço):
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{e}_x = (1,0,0) }[/math]
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{e}_y = (0,1,0) }[/math]
[math]\displaystyle{ \overrightarrow{e}_z = (0,0,1) }[/math]
[math]\displaystyle{ \text{E} = \{\overrightarrow{e}_x, \overrightarrow{e}_y, \overrightarrow{e}_z\} }[/math] é uma base do [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math]. Perceba que um vetor qualquer do [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math] é [math]\displaystyle{ \overrightarrow{v} = a\overrightarrow{e}_x + b\overrightarrow{e}_y + c\overrightarrow{e}_z }[/math]. Os escalares a, b e c são chamados de coordenadas (ou componentes) do vetor na base [math]\displaystyle{ \text{E} }[/math]. Em geometria analítica essa definição já é apresentada junto da definição de base. Mas em álgebra linear, como as visualizações geométricas em n dimensões não são mais possíveis, formaliza-se uma definição algébrica mais acurada dos conceitos de dimensão e base primeiro.
É a base canônica do espaços das matrizes [math]\displaystyle{ \mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) }[/math]. Assim como no caso dos vetores, qualquer matriz 2 x 2 pode ser escrita como combinação linear de múltiplos das matrizes da base.
É bastante fácil generalizar as bases das matrizes e dos vetores para n dimensões.
Os n + 1 polinômios [math]\displaystyle{ 1, \; t, \; \dots, \; t^n }[/math] formam uma base de [math]\displaystyle{ \mathbb{P}_n(\mathbb{R}) }[/math] pois
- Dado [math]\displaystyle{ f \in \mathbb{P}_n(\mathbb{R}) }[/math], existem (e são únicos) [math]\displaystyle{ a_0, \; a_1, \; \dots, a_n \in \mathbb{R} }[/math] de modo que
[math]\displaystyle{ f(t) = a_0 + a_1t + \dots + a_nt^n, \; \forall t \in \mathbb{R}, }[/math]
o que é uma consequência da própria definição de polinômio.
- Se [math]\displaystyle{ a_0 + a_1t + \dots + a_nt^n = 0, \; \forall t \in \mathbb{R}, }[/math] então [math]\displaystyle{ a_0 = \dots = a_n = 0, }[/math] devido ao princípio do polinômio identicamente nulo. Isso é o mesmo que dizer que os termos da base são LI.
Por definição, a base que gera o menor subespaço, o que tem apenas o vetor nulo, denotado por [math]\displaystyle{ \{o\} }[/math], é o conjunto vazio [math]\displaystyle{ \{\emptyset\} }[/math].
