Álgebra linear e deformações de gráficos de funções
Em cálculo não estudamos as transformações lineares. Mas deformar um gráfico sem alterar as raízes da equação é um conceito que a álgebra linear estuda com maior profundidade. Se você já parou para pensar na escola porque [math]\displaystyle{ x^2 - 6x + 5 = 0 }[/math] e [math]\displaystyle{ 3x^2 - 18x + 15 = 0 }[/math] são duas equações diferentes, mas mesmo assim tem as mesmas raízes. A razão para tal fato esta na álgebra linear. Eu não me lembro de nenhum professor na escola de ter comentando sobre isto.
Observação: antes de continuarmos, alguém pode ter perguntando "O que acontece se o gráfico da função for deslocado sem deformá-lo?" O que vamos ver e discutir abaixo são casos de transformações que não estão deslocando o gráfico sem deformá-lo. Estaremos deformando o gráfico ao longo de um ou ambos os eixos de duas formas: constante e não constante.
É um conceito bastante abstrato que esta por trás da questão acima. Quando traçamos gráficos que não são funções, como círculos, temos duas variáveis independentes no plano cartesiano. Por outro lado, traçar o gráfico de uma função tem a seguinte relação [math]\displaystyle{ y = f(x) }[/math]. O que temos não são dois eixos independentes, mas um eixo que depende do outro. Sem entrar na definição de um espaço vetorial, podemos pensar no plano cartesiano, no qual o gráfico é traçado, como um espaço. Quando deformamos os eixos estamos deformando todo o espaço. A ideia é mais ou menos a mesma daquelas ilustrações que mostram como a gravidade deforma o espaço.
Quando deslocamos um círculo no plano cartesiano, uma variável não depende da outra. Com gráficos de funções esta operação é muito mais complexa. Como uma variável depende da outra, para deslocar o gráfico no espaço sem deformá-lo, precisamos mudar a equação que associa uma variável com a outra na função. Ao mudarmos a equação estamos mudando a descrição de qualquer que seja o processo por ela representado. A transformação feita mudou completamente a função original, o que invariavelmente implica numa interpretação diferente e o processo descrito pela função já não é mais o mesmo de antes.
Deformação constante em uma dimensão
Observe como a linha de baixo é igual à de cima, exceto que a distância entre cada ponto aumentou (numa taxa constante!!). Imagine que a linha representa uma régua. Desde que o mundo inteiro use a mesma régua com a mesma proporção, não importa se estamos usando a de cima ou a de baixo. O que importa é o padrão. Ter padrões de medidas para tudo é um problema que a física tem que resolver.
Deformação constante em duas dimensões
Agora em 2D. Quando multiplicamos uma função por uma constante, estamos essencialmente esticando | contraindo o eixo vertical. É por isto que as raízes permanecem as mesmas. Se usarmos uma função linear como um argumento de outra função, estamos essencialmente alongando | contraindo o eixo horizontal. Esta última transformação, porém, muda a distância entre as raízes.
Pode uma linha reta ser deformada numa parábola apenas com a operação de alongar | contrair o eixo? Não é possível. A razão para isto é que precisamos, de fato, distorcer os eixos num padrão não-linear. Isto é, numa taxa que não seja constante. O processo inverso, esticar uma parábola até ela virar uma reta, também é impossível sem deformar os eixos numa taxa que não seja constante.
Pegue a reta dos números e calcule o quadrado dos números naturais: 1, 4, 9, 16, ... Como fazemos para que a distância entre cada número volte a ser uma taxa constante? Calculando a raiz quadrada de cada número. Acabamos de discutir um conceito que é: quando temos uma função e usamos a sua inversa como argumento da primeira, o gráfico resultante não poderia ser outro a não ser uma linha reta! Sob outro ponto de vista: a taxa de variação de uma função pode ser interpretada como sendo análoga ao que a aceleração é para a velocidade na física. Se temos uma função que cresce a uma certa taxa, para transformá-la numa linha reta precisamos de uma função que decresça na mesma taxa (ignorando o sinal). Se ela decrescer numa taxa diferente, o gráfico não será uma linha reta.
Deformação em uma dimensão numa taxa não constante
(Usei letras no lugar de números para evitar confusão com as distâncias entre cada ponto não sendo mais uma constante)
Observe como os pontos não estão mais igualmente espaçados. A transformação não é mais linear. É isto que acontece quando usamos numa função não-linear como um argumento de outra. O eixo horizontal é deformado a uma taxa não constante. Por exemplo [math]\displaystyle{ f(x) = \sin(x^2) }[/math].
Se você já teve aulas de física experimental ou apenas viu um gráfico com uma escala não constante. Aquela escala não é linear. Um exemplo é ter o eixo vertical em potências de dez. Se você pegar uma régua e medir o gráfico você não poderá tirar conclusões das medidas porque a régua tem uma escala linear. Potências de dez são regularmente usadas para fazer um gráfico ficar mais fácil de traçar e de ler quando as quantidades são muito grandes ou a taxa de variação aumenta | diminui muito no tempo. Exemplo: distância entre estrelas, população mundial ou número de árvores.
Deformação não constante em duas dimensões
Agora a mesma transformação não linear em 2D. É por isto que multiplicar uma função por outra função como [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] ou [math]\displaystyle{ \sen(x) }[/math] não é uma transformação linear. Estamos deformando a função de uma forma que as raízes são deslocadas dos seus pontos originais. Funções por si mesmas podem ser interpretadas, graficamente, como padrões. Quando tiramos uma fotografia e giramos, esticamos, borramos, etc. O software que faz isto esta aplicando cálculos para obter o efeito desejado que são conceitos da álgebra linear. Estudar estes padrões é algo que não aprendemos em cálculo.
Procure por padrões de xadrez de Op Art. Eles são exemplos práticos de uma transformação não-linear. Outro exemplo são piscinas. Por causa da refração dos raios de luz a imagem que você vê através da água é distorcida. É mais um exemplo de um fenômenos não-linear.
