View source for Regra de l'Hospital

Esta regra nos conta que se tivermos um quociente <math>f(x)/g(x)</math> e '''o limite resulta numa forma indeterminada''' <math>0/0</math> ou <math>\infty/\infty</math>, então podemos seguramente assumir que o limite do quociente <math>f/g</math> é igual ao limite de <math>f'/g'</math>. Isto é, '''o limite do quociente das derivadas''' ''(não o limite da derivada do quociente!!!)''. Tudo sob a condição de que as funções sejam diferenciáveis. Se o limite de <math>f'/g'</math> também resultar numa forma indeterminada, podemos aplicar l'Hospital de novo. <math>0/\infty</math> ou vice-versa podem aparecer mas não podemos aplicar l'Hospital nestes casos!

Alguém poderia naturalmente pensar que esta regra pode ser aplicada a qualquer limite. Não, ela não pode. Pense sobre isto: suponha que temos <math>\lim_{x \ \to \ a} f(x)/g(x) = n</math>, onde <math>n \neq 0</math> e <math>n \neq 1</math>. A partir daqui já podemos concluir uma coisa: o limite de ambas as funções não pode ser o mesmo. Caso contrário o limite seria  <math>n/n = 1</math>. Agora com as derivadas podemos achar pontos críticos, de máximo ou de mínimo de uma função. Estes pontos sempre coincidem com <math>f'(x) = 0</math>. Eles também podem coincidir com <math>f(x) = 0</math>.

Caso ambas as funções estejam indo para o infinito a pergunta natural é: qual delas é mais rápida ou mais devagar? Isto naturalmente sugere analisar as suas respectivas derivadas. Esta é a ideia por trás desta regra. Analisar a rapidez de uma função em relação à outra quando ambas vão ao mesmo ponto. Eu espero que assim tenha ficado claro por que a regra de l'Hospital se aplica a um caso bem específico de limites.

Alguém poderia naturalmente pensar que podemos estender a regra para funções de várias variáveis. Não, não podemos. '''Não temos um equivalente à regra de l'Hospital para duas ou mais variáveis.''' A razão para isto reside no fato de que múltiplos caminhos levam a diferentes limites com duas ou mais variáveis. Para funções de várias variáveis não existe o conceito de uma derivada que seja desconectada da direção. Suponha que temos o quociente <math>f(x,y)/g(x,y)</math> e o limite leva a uma indeterminação. Não podemos considerar <math>f'(x,y)/g'(x,y)</math> porque, de fato pode acontecer de que o mesmo caminho leve ambas as funções a uma forma indeterminada, mas não temos uma ferramenta capaz de tratar de todos os caminhos ao mesmo tempo. Temos a derivada direcional mas mesmo aí temos um outro problema: o que fazer se uma variável varia mais rapidamente do que a outra? Pior ainda, esta última pergunta depende do próprio caminho que escolhermos.

'''Observação:''' esta regra não resolve todos os problemas. Alguns casos particulares são patológicos porque temos funções que podem ser diferenciadas infinitas vezes como o seno ou exp e trocar uma função pela sua respectiva derivada não vai simplificar nada. Tais casos pedem alguma outra técnica como a substituição de variáveis.

==Demonstração da regra de l'Hospital==

Antes de prosseguir, vamos estabelecer condições para a fórmula ser válida:

# <math>g'(x) \neq 0</math> num intervalo aberto contento <math>a</math>. O limite pode ser finito e igual a zero. O que não podemos ter é a derivada em si sendo nula.
# A forma indeterminada precisa ser <math>0/0</math> ou <math>\infty/\infty</math>. Outras como <math>0^0</math> ou <math>1^{\infty}</math> não valem.
# <math>\lim_{x \ \to \ a} \frac{f'(x)}{g'(x)}</math> deve existir. Se o limite não existir não podemos depender da fé ou um exercício de adivinhação para tentar achá-lo.

Vamos usar o '''Teorema do Valor Médio de Cauchy''' e lembrar que a derivada é, por definição, um limite:

<math>\frac{f'(a)}{g'(a)} = \frac{\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}}{\lim_{x \to a} \frac{g(x) - g(a)}{x - a}}</math>

<math> = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)}</math>

<math> = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - 0}{g(x) - 0}</math> ''(das condições para aplicar a regra sabemos que <math>f(a) = g(a) = 0</math>)''

<math> = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}</math>

Com isto provamos a fórmula.

'''Links para a demonstração:'''
* [https://www.youtube.com/watch?v=9CFy5vkelQI Matemática Universitária]
* https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-diff-contextual-applications-new/ab-4-7/a/proof-of-special-case-of-lhpitals-rule
* http://ecalculo.if.usp.br/ferramentas/limites/regras_lhospital/teoremas/teorema1.htm
* https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_l%27H%C3%B4pital