View source for Exercícios de posição relativa de retas

* Estude a posição relativa das retas ''s'' e ''r'':
* <math>r: \text{X} = (1,-1,1) + \lambda(-2,1,-1)</math> e <math>s: \begin{cases} & & y & + & z & = & 3 \\ x & + & y & - & z & = & 6 \end{cases}</math>


Resolvendo o sistema de ''s'' a solução é a equação de uma reta:

<math>
(3 + 2z, 3 - z, z) = (3, 3, 0) + z(2, -1, 1)
</math>

Os vetores diretores <math>(2,-1,1)</math> e <math>(-2,1,-1)</math> são LD, portanto, são retas paralelas. Como o ponto origem das reta ''r'' não pertence a reta ''s'', as retas são distintas.

<hr>

* <math>r: \begin{cases} x & - & y & - & z & = & 2 \\ x & + & y & - & z & = & 0 \end{cases}</math> e <math>s: \begin{cases} 2x & - & 3y & + & z & = & 5 \\ x & + & y & - & 2z & = & 0 \end{cases}</math>


Resolvendo ''r'' e fazendo a variável livre se chamar <math>t_1</math>:

<math>
(1 + t_1, -1, t_1) = (1, -1, 0) + t_1(1, 0, 1)
</math>


Escrevendo ''r'' na forma paramétrica:

<math>
\begin{cases} x & = & 1 & + &  t_1 \\ y & = & -1 \\ z & = & & & t_1\end{cases}
</math>


Resolvendo ''s'' e fazendo a variável livre se chamar <math>t_2</math>: 

<math>
\left(t_2 + 1, t_2 - 1, t_2\right) = \left(1, -1, 0\right) + t_2\left(1, 1, 1\right)
</math>


Escrevendo ''s'' na forma paramétrica:

<math>
\begin{cases} x & = & 1 & + & t_2 \\ y & =  & t_2 & - & 1 \\ z & = &&& t_2 \end{cases}
</math>


Os vetores diretores de ''r'' e ''s'' são claramente LI, portanto, as retas não são paralelas. Se existe uma intersecção, ela é uma igualdade entre as coordenadas x, y e z das retas:

<math>
\begin{cases} 1 & + & t_1 & = & 1 & + & t_2 \\ -1 & & & = & t_2 & + & 1 \\ t_1 & & & = & t_2\end{cases}
</math>

Encontrando os valores de <math>t_1</math> e <math>t_2</math> encontramos o ponto de intersecção. No caso, o ponto origem de cada reta é coincidentemente o ponto de intersecção.

<hr>

* <math>r: \frac{x + 3}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{2}</math> e <math>s: X = (0,0,0) + \lambda(1,2,0)</math>


Passando ''r'' para a forma vetorial:

<math>
r: \text{X} = (-3,0,-1) + \mu(2,3,2)
</math>

Os vetores diretores de ''r'' e ''s'' são claramente LI, então as retas não são paralelas. Para verificar se existe a intersecção um modo é fazer como no exemplo anterior, igualar as coordenadas x, y e z. Outro modo é verificando a dependência linear entre os vetores diretores e o vetor que liga os pontos origem de cada reta. 

<math>
\left| \begin{matrix} -3 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{matrix} \right| = 11
</math>

Como os vetores são LI as retas não tem ponto intersecção e são reversas.

<hr>

* <math>r: \frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{4} = z</math> e <math>s: \begin{cases} 2x & - & y & + & 7 & = & 0 \\ x & + & y & - & 6z & = & -2 \end{cases}</math>

Escrevendo ''r'' na forma vetorial:

<math>
r: X = (-3, 1, 0) + \lambda(2,4,1)
</math>

Resolvendo ''s'' e chamando a variável livre de <math>\mu</math>:

<math>
(2\mu - 3, 4\mu + 1, \mu) = (-3, 1, 0) + \mu(2,4,1)
</math>

Como os vetores diretores e os pontos origem são iguais, as retas são coincidentes

<hr>

* Sejam <math>r: \text{X} = (1,0,2) + \lambda(2,1,3)</math> e <math>s: \text{X} = (0,1,-1) + \lambda(1,m,2m)</math>. Estude, segundo os valores de ''m'', a posição relativa de ''r'' e ''s'' e obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado por elas.


Estudando o paralelismo:

<math>(1,0,2) - (0,1,-1) = (1,-1,3)</math>. Como o vetor que une os pontos origem das duas retas não é paralelo ao vetor diretor de ''r'' as retas não podem ser coincidentes qualquer que seja o valor de m.

Para que as retas sejam paralelas é preciso que os vetores diretores sejam LD, mas igualando os vetores diretores <math>(2,1,3) = (1,m,2m)</math> é imediato verificar que não existe valor de ''m'' para o qual os vetores sejam paralelos. Portanto só restam as retas serem reversas ou concorrentes.


Como as retas não podem ser paralelas, é suficiente que os vetores diretores e o vetor que une os pontos origem de cada reta sejam LD para haver intersecção:

<math>
\left|\begin{matrix}
2 & 1 & 3 \\
1 & -1 & 3 \\
1 & m & 2m
\end{matrix}\right| = 0
</math>

Calculando o determinante, <math>m = \frac{2}{3}</math>. Isso significa que para <math>m = \frac{2}{3}</math> as retas são concorrentes e para <math>m \ne \frac{2}{3}</math> as retas são reversas.


Escrevendo as retas na forma paramétrica ''(usando parâmetros diferentes para cada reta para não confundir)'':

<math>
r: \begin{cases}
x & = & 1 & + & 2 \lambda \\
y & = & & & \lambda \\
z & = & 2 & + & 3 \lambda
\end{cases} \; \; \; \; \;
s: \begin{cases}
x & = & & + & \mu \\
y & = & 1 & + & \frac{2}{3} \mu \\
z & = & -1 & + & \frac{4}{3} \mu
\end{cases}
</math>

Igualando as coordenadas x, y e z para encontrar o ponto de intersecção: <math>\lambda = -5</math> e <math>\mu = -9</math>. Basta aplicar -5 na reta ''r'' ou -9 na reta ''s'' para encontrar a intersecção em <math>P = (-9,-5,-13)</math>.

Os vetores diretores da reta e o vetor <math>\overrightarrow{\text{XP}} = (-9 -x, -5 - y, -13 - z)</math> são LD, portanto:

<math>
\left|\begin{matrix}
2 & 1 & 3 \\
1 & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} \\
-9 - x & -5 - y & -13 - z
\end{matrix}\right| = 0
</math>

Calculando o determinante resulta na equação geral do plano determinado pelas retas: <math>\frac{1}{3}(2x - y - z) = 0</math> ''(A equação não é única, dependendo do ponto P escolhido encontra-se um múltiplo da equação)''

<hr>

* Dê condições sobre ''m'' e ''n'' para que as retas ''s'' e ''r'' determinem um plano:
* <math>r: \begin{cases} x & - & y & = & 1 \\ nx & - & y & - & 2z & + & m & + & 1 & = & 0\end{cases} \; \; \; \; \; s: \begin{cases} x & - & nz & + & m & + & n & = & 0 \\ x & + & y & - & 2nz & + & 11 & = & 0 \end{cases}</math>


Escrevendo a equação vetorial de ''r'' ''(y = t, m e n são variáveis livres)'':

<math>
\left(1 + t,t,\frac{m + 1 - t + n(1 + t)}{2}\right) = \left(1,0,\frac{m + 1 + n}{2}\right) + t\left(1,1,\frac{n - 1}{2}\right)
</math>


Escrevendo a equação vetorial de ''s'' ''(z = v, m e n são variáveis livres)'':

<math>
(-m + nv - n, nv + n - 11, v) = (-m - n, n - 11, 0) + v(n, n, 1)
</math>

Se n = -1 ou n = 2 os vetores diretores são LD, portanto, as retas são paralelas e não podem determinar um plano. Se n ≠ -1 e n ≠ 2 as retas podem ser reversas ou concorrentes, depende de m.

<hr>

* A altura e a mediana relativas ao vértice B do triângulo ABC estão contidas, respectivamente, em ''r'': <math>X = (-6,0,3) + \lambda(3,2,0)</math> e <math>s: X = (0,0,3) + \lambda(3,-2,0)</math>. Sendo <math>C = (4,-1,3)</math>, determine ''A'' e ''B''.

<div style="margin:1.5em;"><center>[[file:triangle_median_height.svg]]</center></div>

Como a mediana e a altura estão contidas em retas não coincidentes deduz-se que o triângulo não é equilátero e que os lados AB e BC não podem ser iguais. O ponto de intersecção de ''r'' e ''s'' é o ponto B. Calculando a intersecção ''(mudando o parâmetro de s para não confundir)'':

<math>
\begin{cases}
-6 & + & \lambda 3 & = & 3 \mu \\
& &  \lambda 2 & = & -2 \mu
\end{cases}
</math>

Resolvendo o sistema temos que <math>\lambda = 1</math> e <math>\mu = -1</math> e <math>B = (-3,2,3)</math>


A reta que contem CA é perpendicular à altura, isso significa que os vetores diretores são ortogonais. Então:

<math>
(4 - x, -1 - y, 3 - z) \cdot (3,2,0) = 0 \\
12 - 3x -  2 - 2y = 0 \\
-3x - 2y + 10 = 0
</math>

Existem infinitos pares (x, y) que verificam a equação, por exemplo <math>(3,\frac{1}{2})</math>. O vetor diretor da reta que contem AC é da forma <math>(4 - 3, -1 -\frac{1}{2}, 3 - z) = (1,-\frac{3}{2},3 - z)</math>. Existem infinitos vetores ortogonais ao vetor diretor de ''r'', mas apenas para 3 - z = 0 o vetor esta no mesmo plano determinado pelas retas ''r'' e ''s''. Portanto, um vetor diretor da reta que contem AC é <math>(1, -\frac{3}{2},0)</math>. A reta que passa por C e é perpendicular à altura é única:

<math>
a: \text{X} = (4,-1,3) + t\left(1,-\frac{3}{2},0\right)
</math>


Calculando a intersecção de ''a'' com ''s'':

<math>
\begin{cases}
4 & + & t & = & 3 \mu \\
-1 & - & \frac{3}{2}t & = & -2 \mu
\end{cases}
</math>

Resolvendo o sistema temos <math>\mu = t = 2</math> e o ponto de intersecção <math>M = (6,-4,3)</math>.

Agora encontramos o vetor <math>\overrightarrow{CM} = (2,-3,0)</math>. Como o vetor <math>\overrightarrow{AM}</math> é equipolente com <math>\overrightarrow{CM}</math> basta somar o ponto M ao vetor <math>\overrightarrow{CM}</math> para encontrar <math>A = (8,-7,3)</math>.


<u>Segundo modo de resolução:</u> Faça o produto vetorial entre os vetores diretores de ''r'' e ''s'', isso dará o vetor diretor de uma reta perpendicular à altura e ao plano que contem o triângulo ABC. Faça novamente o produto vetorial, agora entre o vetor diretor encontrado e o vetor diretor da reta que contem a altura, isso resultará no vetor diretor da reta que passa por C. Como as coordenadas dos pontos não dependem da orientação das retas a ordem do produto vetorial não afetará os resultados.

<hr>

* Seja <math>r: \text{X} = (1,1,1) + \lambda (1,1,1)</math> e <math>s: \text{X} = (1,2,0) + \lambda (2,3,m)</math>. Verifique se existe algum valor de ''m'' tal que as retas ''r'' e ''s'' sejam ortogonais ou perpendiculares.


Para que as retas sejam ortogonais ou perpendiculares os vetores diretores devem ser ortogonais:

<math>\begin{align*}
(1,1,1) \cdot (2,3,m) & = 0 \\
m & =  -5
\end{align*}
</math>


Para que as retas sejam perpendiculares os vetores diretores devem ser ortogonais e deve haver intersecção:

<math>
\begin{cases}
1 & + & \lambda & = & 2 & + & \mu \\
1 & + & \lambda & = & 2 & + & 2 \mu \\
1 & + & \lambda & = & -5
\end{cases}
</math>

Como o sistema não tem solução não existe intersecção e as retas não podem ser perpendiculares. Para que fossem precisaríamos mudar o ponto origem de uma delas.