View source for Equação do plano

<center>'''Equação do plano na forma vetorial'''</center>

<div style="margin:2em;"><center>[[file:plane_equation_vector_form.svg]]</center></div>

Se um vetor determina uma reta, dois vetores LI determinam um plano. A equação do plano na forma vetorial é análoga a da reta acrescida de mais um vetor diretor:

<center><math>
\pi: X = A + \lambda \overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v} 
</math></center>

Se dois pontos determinam uma reta, três pontos não colineares determinam um plano. Dados os pontos A, B e C que formam um triângulo, os vetores diretores são B - A e C - A ''(qualquer par serve, o que muda é a orientação dos vetores diretores)'', de modo que a equação vetorial do plano fica:

<center><math>
\pi: \text{X} = \text{A} + \lambda (\text{B} - \text{A}) + \mu (\text{C} - \text{A})
</math></center>

<hr>

<center> '''Equação do plano na forma paramétrica'''</center>

A obtenção da equação paramétrica do plano é análoga à da reta ''(temos as coordenadas do ponto origem e dos vetores diretores dadas em relação a um sistema de referência adotado)'':

<center><math>
(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + \lambda(a_1,b_1,c_1) + \mu (a_2,b_2,c_2)
</math></center>

<div style="margin:1.5em;"><center><math>
\pi: 
\begin{cases}
x & = & x_0 & + & \lambda a_1 & + & \mu a_2 \\
y & = & y_0 & + & \lambda b_1 & + & \mu b_2 \\
z & = & z_0 & + & \lambda c_1 & + & \mu c_2 \\
\end{cases}
</math></center></div>

As coordenadas x, y e z de um ponto do plano ficam dadas em função dos parâmetros <math>\lambda</math> e <math>\mu</math>.

<hr>

<center> '''Equação do plano na forma geral'''</center>

Seja um ponto X qualquer e A a origem do plano, se o vetor X - A for contido no plano, então X pertence ao plano. Em outras palavras, se o vetor X - A for linearmente dependente com os vetores diretores, o ponto X pertence ao plano. Isso se traduz num determinante ''(temos as coordenadas dos vetores dadas em relação a um sistema de referência adotado)'':

<center><math>
\left|\begin{matrix}
x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{matrix}\right| 
= (x - x_0) 
\left|\begin{matrix}
b_1 & c_1 \\
b_2 & c_2
\end{matrix}\right| 
- (y - y_0) 
\left|\begin{matrix}
a_1 & c_1 \\
a_2 & c_2
\end{matrix}\right| 
+ (z - z_0) 
\left|\begin{matrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{matrix}\right|  
</math></center>

Fazendo a substituição dos determinantes menores por a, b e c:

<center><math>
\left|\begin{matrix}
b_1 & c_1 \\
b_2 & c_2
\end{matrix}\right| = a \; \; \; \; \; -\left|\begin{matrix}
a_1 & c_1 \\
a_2 & c_2
\end{matrix}\right| = b \; \; \; \; \; \left|\begin{matrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & b_2
\end{matrix}\right| = c
</math></center>

<div style="margin:1.5em;"><center><math>\begin{align*}
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) & = 0 \\
ax - ax_0 + by -by_0 + cz - cz_0 & = 0 \\
-ax_0 - by_0 - cz_0  & = -ax - by - cz\\
\end{align*}
</math></center></div>

Fazendo uma substituição -ax - by - cz = d:

<center><math>
ax_0 + by_0 + cz_0 + d = 0
</math></center>

Obtemos a equação geral do plano <math>\pi</math>.

Uma segunda maneira de chegar na mesma equação: seja <math>A = (x_0,y_0,z_0)</math> um ponto pertencente ao plano <math>\pi</math> e <math>\overrightarrow{n} = (a,b,c)</math> um vetor não nulo normal (ortogonal) ao plano. O plano <math>\pi</math> pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos <math>P = (x,y,z)</math> do espaço tais que o vetor <math>\overrightarrow{AP}</math> é ortogonal a <math>\overrightarrow{n}</math>. O ponto P pertence a <math>\pi</math> se, e somente se <math>\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AP} = 0</math>. Então, desenvolvendo:

<center><math>\begin{align*}
(a,b,c) \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) & = 0 \\
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) & = 0 \\
ax - ax_0 + by -by_0 + cz - cz_0 & = 0 \\
\end{align*}
</math></center>

Fazendo uma substituição -ax - by - cz = d:

<center><math>
ax_0 + by_0 + cz_0 + d = 0
</math></center>

Note que a forma geral da equação do plano traz nos coeficientes a, b e c as coordenadas de um vetor ortogonal ao plano. Note tambem que abc ≠ 0.

<hr>

<center> '''Equação da reta na forma planar'''</center>

Dois planos não paralelos entre si se interceptam ao longo de uma reta. Isso significa que podemos definir a equação de uma reta a partir das equações de dois planos, desde que os vetores normais não sejam LD:

<center><math>
\begin{cases}
a_1x & + & b_1y & + & c_1z & + & d_1 & = & 0 \\
a_2x & + & b_2y & + & c_2z & + & d_2 & = & 0
\end{cases}
</math></center>

Note que temos um sistema linear de duas equações e três incógnitas, o que significa que teremos uma variável livre, justamente a que será o parâmetro da equação da reta.

<hr>

Assim como uma reta pode existir em dimensões maiores do que três, o mesmo acontece com o plano. Um ponto com ''n'' coordenadas e dois vetores não paralelos com ''n'' coordenadas cada determinam um "plano" em ''n'' dimensões. Mas a intuição falha para dimensões maiores do que três e não podemos mais ver a intersecção de dois planos como uma reta como acontece em três dimensões. A equação do plano na forma geral pode ser generalizada para ''n'' dimensões e continua tendo um vetor normal ao plano, mas não podemos mais fazer o uso do produto vetorial pois este não esta definido em ''n'' dimensões.