View source for Completamento de quadrados e a fórmula de Bháskara

O completamento dos quadrados é melhor entendido com uma interpretação geométrica. Primeiro me permita mostrar a figura:

<div style="text-align:center;">
[[file:square_complete.png|200px]]
</div>

A associação gráfica é bem clara. O que não fica tão óbvio muitas vezes é o fato de que <math>(a + b)^2</math> pode ser visto de maneira literal. Todo o quadrado tem lados cujo comprimento é a soma de dois lados menores <math>a</math> e <math>b</math>.

A ideia do completamento dos quadrados é reescrever a equação quadrática na forma <math>(a + b)^2</math>. Todos aprendemos na escola que equações quadráticas tem esta forma <math>(a + b)^2</math>. Quando <math>c = 0</math> fica fácil calcular as raízes porque podemos fatorar a equação na forma <math>x(ax + b)</math>. Daí resolvemos uma equação linear. Uma equação da forma <math>x^2 + bx</math> é a mesma coisa que <math>a^2 + ab</math> como a figura acima mostra.

Graficamente temos isto:

<div style="text-align:center;">
[[file:square_complete2.png|500px]]
</div>

<math>x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2</math> ''(Note que para completar o quadrado aumentamos a área total)''

É um pouco engraçado como a maioria dos livros menciona este tópico sem fazer a associação com quadrados. Quadrados, literalmente.

'''Referência:''' Eu vi todo este raciocínio gráfico aqui [https://www.mathsisfun.com/algebra/completing-square.html| mathisfun] (em inglês).

==Demonstração da fórmula para resolver equações polinomiais de segundo grau==

Podemos usar o completamento dos quadrados para achar a fórmula para resolver equações quadráticas. Tente isolar o <math>x</math> de <math>ax^2 + bx + c = 0</math>. Muito rapidamente você irá perceber que é praticamente impossível. O fato da equação ter tanto <math>x</math> quanto <math>x^2</math> torna a tarefa muito difícil. Temos que reescrever a equação para conseguir isolar o <math>x</math>. Veja a figura anterior e compare <math>ax^2 + bx + c</math> com <math>x^2 + bx</math>. A única diferença é que no primeiro caso temos uma constante multiplicando o quadrado e uma outra constante solta.

Há outras formas de deduzir a fórmula além do completamento dos quadrados. Mas vou omiti-las.

<div style="text-align:center;">
[[file:Square_complete4.png|600px]]
</div>

Na figura, <math>\frac{c}{a}</math> é um retângulo mas não sabemos. Poderia ser um quadrado também. É só uma figura sem escala ou proporção.

Primeiro podemos dividir tudo por <math>a</math> porque se <math>a = 0</math> não temos mais uma equação quadrática:

<math>x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \iff x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}</math> 

Se temos <math>x^2 + mx</math>, podemos deduzir qual termo falta para completar o quadrado? Sim. <math>\left(\frac{m}{2}\right)^2</math> porque o termo do meio é sempre 2 x 1<sup>o</sup> x 2<sup>o</sup> termos. Portanto:

{|
|<math>x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2</math> || style="padding-left:3em; padding-bottom:1em;" | Não mudamos a área do quadrado porque ambos os lados da equação continuam iguais. Em outras palavras, adicionar um quadrado perfeito em ambos os lados da equação é o mesmo que adicionar e subtrair um mesmo quadrado de um lado só da equação.
|-
|<math>\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2</math><br /><br />  || style="padding-left:3em; padding-bottom:1em;" | Com esta operação eliminados o termo <math>x^2</math> e agora fica mais fácil de isolar o <math>x</math>.
|-
|<math>\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}</math><br /><br />  || style="padding-left:3em; padding-bottom:1em;" | Use o mínimo múltiplo comum do lado direito.
|-
|<math>\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 =\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}</math><br /><br /> || style="padding-left:3em; padding-bottom:1em;" | Tire a raiz quadrada em ambos os lados.
|-
|<math>x + \frac{b}{2a} = \pm  \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}</math> || style="padding-left:3em; padding-bottom:1em;" | Podemos tirar a raiz quadrada do denominador porque é um quadrado perfeito.
|}

<math>x + \frac{b}{2a} = \pm  \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>

<math>x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>

<math>x =  \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>

Voltando na figura, o que encontramos foi uma forma de expressar <math>x</math> em termos de vários parâmetros, as constantes de toda equação quadrática, de tal forma que ambos os lados da equação mantém a igualdade. No começo da demonstração tínhamos <math>x</math> à esquerda e <math>-\frac{c}{a}</math> à direita. A pergunta ali era: há um <math>x</math> tal que ambos os lados da equação tenham a mesma área?

<math>ax^2 + bx + c = 0</math>. Dando uma segunda olhada, agora com uma interpretação geométrica, o significado da equação é: temos uma soma de quadrados e retângulos ou cada termo é um número. Há um <math>x</math> tal que a soma de dois dos termos seja igual ao terceiro em valores absolutos?

[[:File:Square_complete3.png]] Deixo este erro aqui por referência. O erro aqui é que o quadrado da direita tem uma área menor do que a área inicial à esquerda. Por isto a fórmula encontrada será parecida com a fórmula procurada para equações quadráticas, mas com diferenças importantes.

'''Fórmula de Bhaskara:''' Eu não sei porque o nome é este no Brasil se em outros países o nome não é este. Outros países do mundo não fazem a associação com o matemático indiano que dá nome à fórmula. Outro fato curioso é que existe um segundo matemático indiano com o mesmo nome e a maioria desconhece este fato. Um viveu milhares de anos antes de Cristo, o outro centenas de anos depois de Cristo.

'''Completando o cubo:''' se alguém perguntou sobre a equação cúbica, a ideia geométrica segue o mesmo padrão. Mas se usarmos o mesmo raciocínio anterior temos que impor uma certa condição. A raiz cúbica da equação é uma raiz tripla.