View source for Aproximação linear para duas variáveis

Aproximar uma função de duas variáveis com um plano tangente é a extensão natural do mesmo conceito para funções de uma variável. Da mesma forma que ampliando bastante um gráfico de uma função de uma variável o faz ser renderizado quase como uma reta. O mesmo acontece com curvas de nível de uma função de duas variáveis. As curvas de nível se aproximam de linhas retas paralelas se ampliarmos bastante.

<div style="text-align:center;">
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''(not to scale)''
</div>

Uma função de várias variáveis precisa ser contínua e diferenciável para permitir a aproximação do plano tangente. No caso da função ser contínua mas não diferenciável um plano existe, mas não será o plano tangente procurado porque se a função não é diferenciável não pode existir um plano tangente. Por exemplo: <math>f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}</math>. Um plano em <math>(0,0)</math> não será horizontal. Será inclinado numa direção ou outra.

==O plano tangente==

Na geometria analítica um plano é definido com <math>Z = O + t_1\overrightarrow{v_1} + t_2\overrightarrow{v_2}</math>. Na forma vetorial cada ponto é dado por um ponto origem, dois parâmetros e dois vetores linearmente independentes. Na forma geral temos uma equação que deve ter sido vista em algum momento na escola: <math>Ax + By + Cz + d = 0</math>.

Assumindo que a função seja diferenciável num ponto, temos que:

<math>f(x_0,y_0)</math> o ponto origem

<math>(x - x_0)</math> e <math>(y - y_0)</math> dois pares de pontos, pertencendo ao domínio da função, que dão a direção em <math>x</math> e em <math>y</math>.

<math>\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)</math> e <math>\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)</math> as variações em cada direção, que correspondem a <math>t_1</math> e <math>t_2</math> na forma vetorial.

Portanto, a equação do plano tangente é:

<div style="text-align:center;">
<math>z - f(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y - y_0)</math>
</div>

Com esta equação achamos todos os pontos do plano tangente. Ignoramos o <math>d</math> porque este plano não é qualquer plano, mas um que esta atrelado à função de duas variáveis.

==A reta normal==

<div style="text-align:center;">
[[image:normal_line_pt.png|400px]]
</div>

Na geometria analítica podemos provar que <math>ax + by + cx = 0</math>, o vetor <math>(a,b,c)</math> é perpendicular ao plano. Podemos fazer o mesmo para o plano tangente e obter o mesmo vetor da equação do plano tangente. Olhando na equação anterior, obtemos:

<div style="text-align:center;">
<math>z = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y - y_0) - f(x_0,y_0)</math>
</div>

'''Vetor normal:''' <math>\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0), -1\right)</math>

'''A forma vetorial da equação da reta é então:''' <math>\overrightarrow{r} = (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) + t\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0), -1\right)</math>

Na geometria analítica aprendemos que o '''produto escalar''' de dois vetores perpendicular é zero. Portanto:

<div style="text-align:center;">
<math>[(x,y,z) - (x_0, y_0,f(x_0,y_0))] \cdot \left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0), -1 \right) = 0</math>
</div>

Alguém pode ter pensado sobre o gradiente, porque o gradiente é perpendicular à curva de nível. Isto dá origem à pergunta: '''Pode o gradiente ser paralelo à reta normal?''' Para que isto aconteça o plano tangente precisa ser tangente à superfície de nível, não à própria superfície da função. Pode um plano ser tangente à uma curva de nível e à função ao mesmo tempo? Isto é impossível porque as curvas de nível são paralelas ao eixo XY. O plano tangente teria que ser vertical. Porém, o gráfico de uma função de duas variáveis não pode ter curvas de nível empilhadas ou sobrepostas.