View source for Álgebra linear e deformações de gráficos de funções

Em cálculo não estudamos as '''transformações lineares'''. Mas deformar um gráfico sem alterar as raízes da equação é um conceito que a '''álgebra linear''' estuda com maior profundidade. Se você já parou para pensar na escola porque <math>x^2 - 6x + 5 = 0</math> e <math>3x^2 - 18x + 15 = 0</math> são duas equações diferentes, mas mesmo assim tem as mesmas raízes. A razão para tal fato esta na álgebra linear. Eu não me lembro de nenhum professor na escola de ter comentando sobre isto.

'''Observação:''' antes de continuarmos, alguém pode ter perguntando ''"O que acontece se o gráfico da função for deslocado sem deformá-lo?"'' O que vamos ver e discutir abaixo são casos de transformações que não estão deslocando o gráfico sem deformá-lo. Estaremos deformando o gráfico ao longo de um ou ambos os eixos de duas formas: constante e não constante.

É um conceito bastante abstrato que esta por trás da questão acima. Quando traçamos gráficos que não são funções, como círculos, temos duas variáveis independentes no plano cartesiano. Por outro lado, traçar o gráfico de uma função tem a seguinte relação <math>y = f(x)</math>. O que temos não são dois eixos independentes, mas um eixo que depende do outro. Sem entrar na definição de um espaço vetorial, podemos pensar no plano cartesiano, no qual o gráfico é traçado, como um espaço. Quando deformamos os eixos estamos deformando todo o espaço. A ideia é mais ou menos a mesma daquelas ilustrações que mostram como a gravidade deforma o espaço.

Quando deslocamos um círculo no plano cartesiano, uma variável não depende da outra. Com gráficos de funções esta operação é muito mais complexa. Como uma variável depende da outra, para deslocar o gráfico no espaço sem deformá-lo, precisamos mudar a equação que associa uma variável com a outra na função. Ao mudarmos a equação estamos mudando a descrição de qualquer que seja o processo por ela representado. A transformação feita mudou completamente a função original, o que invariavelmente implica numa interpretação diferente e o processo descrito pela função já não é mais o mesmo de antes.

==Deformação constante em uma dimensão==

<div style="text-align: center;">
[[file:transform_line_pt.png|400px]]
</div>

Observe como a linha de baixo é igual à de cima, exceto que a distância entre cada ponto aumentou (numa taxa constante!!). Imagine que a linha representa uma régua. Desde que o mundo inteiro use a mesma régua com a mesma proporção, não importa se estamos usando a de cima ou a de baixo. O que importa é o padrão. Ter padrões de medidas para tudo é um problema que a física tem que resolver.

==Deformação constante em duas dimensões==

<div style="text-align: center;">
[[file:transform_plane_pt.png|900px]]
</div>

Agora em 2D. Quando multiplicamos uma função por uma constante, estamos essencialmente esticando | contraindo o eixo vertical. É por isto que as raízes permanecem as mesmas. Se usarmos uma função linear como um argumento de outra função, estamos essencialmente alongando | contraindo o eixo horizontal. Esta última transformação, porém, muda a distância entre as raízes.

Pode uma linha reta ser deformada numa parábola apenas com a operação de alongar | contrair o eixo? Não é possível. A razão para isto é que precisamos, de fato, distorcer os eixos num padrão não-linear. Isto é, numa taxa que não seja constante. O processo inverso, esticar uma parábola até ela virar uma reta, também é impossível sem deformar os eixos numa taxa que não seja constante.

Pegue a reta dos números e calcule o quadrado dos números naturais: 1, 4, 9, 16, ... Como fazemos para que a distância entre cada número volte a ser uma taxa constante? Calculando a raiz quadrada de cada número. Acabamos de discutir um conceito que é: quando temos uma função e usamos a sua inversa como argumento da primeira, o gráfico resultante não poderia ser outro a não ser uma linha reta! Sob outro ponto de vista: a taxa de variação de uma função pode ser interpretada como sendo análoga ao que a aceleração é para a velocidade na física. Se temos uma função que cresce a uma certa taxa, para transformá-la numa linha reta precisamos de uma função que decresça na mesma taxa (ignorando o sinal). Se ela decrescer numa taxa diferente, o gráfico não será uma linha reta.

==Deformação em uma dimensão numa taxa não constante==

<div style="text-align: center;">
[[file:transform_nonlinear_pt.png|400px]]
</div>

(Usei letras no lugar de números para evitar confusão com as distâncias entre cada ponto não sendo mais uma constante)

Observe como os pontos não estão mais igualmente espaçados. A transformação não é mais linear. É isto que acontece quando usamos numa função não-linear como um argumento de outra. O eixo horizontal é deformado a uma taxa não constante. Por exemplo <math>f(x) = \sin(x^2)</math>.

Se você já teve aulas de física experimental ou apenas viu um gráfico com uma escala não constante. Aquela escala não é linear. Um exemplo é ter o eixo vertical em potências de dez. Se você pegar uma régua e medir o gráfico você não poderá tirar conclusões das medidas porque a régua tem uma escala linear. Potências de dez são regularmente usadas para fazer um gráfico ficar mais fácil de traçar e de ler quando as quantidades são muito grandes ou a taxa de variação aumenta | diminui muito no tempo. Exemplo: distância entre estrelas, população mundial ou número de árvores.

==Deformação não constante em duas dimensões==

<div style="text-align: center;">
[[file:transform_nonlinear2D_pt.png|900px]]
</div>

Agora a mesma transformação não linear em 2D. É por isto que multiplicar uma função por outra função como <math>x^2</math> ou <math>\sen(x)</math> não é uma transformação linear. Estamos deformando a função de uma forma que as raízes são deslocadas dos seus pontos originais. Funções por si mesmas podem ser interpretadas, graficamente, como padrões. Quando tiramos uma fotografia e giramos, esticamos, borramos, etc. O software que faz isto esta aplicando cálculos para obter o efeito desejado que são conceitos da álgebra linear. Estudar estes padrões é algo que não aprendemos em cálculo.

Procure por padrões de xadrez de Op Art. Eles são exemplos práticos de uma transformação não-linear. Outro exemplo são piscinas. Por causa da refração dos raios de luz a imagem que você vê através da água é distorcida. É mais um exemplo de um fenômenos não-linear.